文档介绍：算符
算符
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线性算符
要直接利用坐标表象中的波函数计算其他力学量的平均值,必须引入算符的概念。
在量子力学中,算符代表对波函数的一种运算。
满足以下运算规则的算符叫做线性算符:
在量子力学中,与可观测量对应的算符都是线性算符。
保持波函数不变的算符叫做单位算符:
两个算符对任意一个波函数的运算结果相同:
则称这两个算符相等:
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算法的加法和乘法
对于系统的任意一个波函数,如果两个算符A和B满足
叫做这两个算符的和。
算符的求和满足交换律和结合律:
线性算符之和仍然是线性算符。
如果
叫做两个算符的积。
一般情况下,算符之积不满足交换律:
这就引出算符的对易关系的概念:
对易关系有一些有用的性质,比如:
请证明其他几个性质
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基本对易关系
最基本的对易关系是坐标与动量的对易关系。
请按上述方法证明:
统一写成
利用这几个基本对易关系可以导出其他力学量之间的对易关系。但需要在数学上充点电。
定义三阶反对称张量Levi-Civita符号:
任意一对指标每交换一次,要改变一个正负号。
如果有任何两个指标相同,则这个量等于零。
作为课外练习,请写出Levi-Civita符号的全部分量。
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角动量与坐标和动量的对易关系
利用Levi-Civita符号可以将角动量的各分量统一写成:
重复指标表示对该指标做遍历求和。
请按这个法则写出角动量的其他两个分量的表达式。
用这种表达方式可以得到与角动量有关的对易关系:
请写出全部对易关系的显明表达式。
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角动量自身的对易关系
Levi-Civita符号有一个特性:
利用这个特性可以导出角动量各个分量间的对易关系。
将第二个因子中的 k , l 互换
请写出全部对易关系的显明表达式。
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球坐标系中的动量算符
对于具有球对称性的问题,采用球坐标系是方便的。
为书写方便,引入偏导数的缩写符号
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球坐标系中的角动量算符
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球坐标系中的角动量平方算符
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球坐标系中的动能算符
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