2009矩阵分析试题(A卷).doc

文档介绍：学号姓名考试方式闭卷班级
考试课程名称高等代数与矩阵分析考试时间: 2010年 1月 8日
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
十一
十二
总分
得分
一、已知,,,
求与的和与交的基和维数。(10分)
二、证明:Jordan块
相似于矩阵,这里为任意实数。(10分)
证明:由于容易求出两个矩阵的不变因子均为,从而这两个矩阵相似,于是矩阵与相似.
三、求矩阵的
(1)Jordan标准型; (2)变换矩阵P ; (3)计算。(10分)
解(1)Jordan标准型为
相似变换矩阵为
由于,因此,容易计算
四、验证矩阵是正规阵,并求酉矩阵,使为对角矩阵。(10分)
五、已知是矩阵,且(为自然数),试证:。(10分)
六、验证矩阵为单纯矩阵,并求的谱分解。(10分)
七、讨论下列矩阵幂级数的敛散性。(10分)
八、设与是实数域上的线性空间的两组基,且
,又对任意的有


证明:(1)是中的向量范数;
(2)当是正交矩阵时,有。(10分)
九、已知矩阵
计算。(10分)
十、以下三题任选一道。(10分)
1、证明: 在上的任何一个正交投影矩阵是半正定的矩阵。
2、证明:正规矩阵属于不同特征值的特征子空间是互相正交的。
3、设V是数域K上的2维线性空间,V的一组基为,V的两个子空间分别为
证明:V=W1ÅW2.
证明: 由于.
因此,,
而线性无关,
所以, ,
又因为,,
所以V=W1ÅW2.