文档介绍：>0,>0,且≠;是,中之较大者,焦点的位置也取决于,的大小。
[举例] 椭圆的离心率为,则=
解析:方程中4和哪个大哪个就是,因此要讨论;(ⅰ)若0<<4,则,∴,∴==,得=3;(ⅱ)>4,则,∴,∴==,得=;综上:=3或=。
[巩固]若方程:x2+ay2=a2 表示长轴长是短轴长的2倍的椭圆,则a的允许值的个数是
A 1个 B .2个
、y轴、原点对称;P(x,y)是椭圆上一点,则|x|≤a,|y|≤b,
a-c≤|PF|≤a+c,(其中F是椭圆的一个焦点),椭圆的焦点到短轴端点的距离为a,椭圆的焦准距为,椭圆的通经(过焦点且垂直于长轴的弦)长为2,通经是过焦点最短的弦。
[举例1] 已知椭圆(>0,>0)的左焦点为F,右顶点为A,上顶点为B,若
BF⊥BA,则称其为“优美椭圆”,那么“优美椭圆”的离心率为。
解析:|AB|2=2+2,|BF|=,|FA|=+,在Rt⊿ABF中,(+)2=2+2+2
化简得: 2+-2=0,等式两边同除以2得:,解得:=。
注:关于,,的齐次方程是“孕育”离心率的温床。
[举例2] 已知椭圆(>0,>0)的离心率为,若将这个椭圆绕着它的右焦点按逆时针方向旋转后,所得的新的椭圆的一条准线的方程为=,则原来椭圆的方程是。
解析:原来椭圆的右焦点为新椭圆的上焦点,在x轴上,直线=为新椭圆的上准线,故新椭圆的焦准距为,∴原来椭圆的焦准距也为,于是有:= ①,
= ②,由①②解得:=5,=3。
[巩固1]一椭圆的四个顶点为A1,A2,B1,B2,以椭圆的中心为圆心的圆过椭圆的焦点,的椭圆的离心率为
。
[巩固2] 在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为,焦点到相应准线的距离为1,则该椭圆的离心率为
(A) (B) (C) (D)
[迁移]椭圆上有n个不同的点P1,P2,P3,…,Pn,椭圆的右焦点F,数列{| PnF|}
是公差大于的等差数列,则n的最大值为( )
。
[举例1]已知⊙Q:(x-1)2+y2=16,动⊙M过定点P(-1,0)且与⊙Q相切,则M点的轨迹方程是:
。
解析:P(-1,0)在⊙Q内,故⊙M与⊙Q内切,记:M(x,y),⊙M的半径是为r,则:
|MQ|=4-r,又⊙M过点P,∴|MP|=r,于是有:|MQ|=4-|MP|,即|MQ|+|MP|=4,可见M点的轨迹是以P、Q为焦点(c=1)的椭圆,a=2。
[举例2] 若动点P(x,y)满足|x+2y-3|=5,则P点的轨迹是:
B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线
解析:等式两边平方,化简方程是最容易想到的,但不可行,一方面运算量很大,另一方面是平方、展开后方程中会出现xy项,这就给我们判断曲线类型带来了麻烦。但是,仔细观察方程后,就会发现等式左边很“象”是点到直线的距离,而等式右边则是两点间的距离的5倍;为了让等式左边变成点到直线的距离,可以两边同除以,于是有:
=,这就已经很容易联想到圆锥曲线的第二定义了,
只需将方程再变形为:,即动点P(x,y)到定点A(1,2)与到定直线x+2y-3=0的距离之比为,∴其轨迹为椭圆。
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