文档介绍：第二章函数
函数
函数的基本概念

(1)函数的定义:设A、B是非空数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作:y=f(x),x∈A.
例1、下列图形中
(1)
x
(2)
(3)
(4)
x
x
x
y
y
y
y
o
o
o
o
不能确定y是x的函数的有( )个

【变式训练】
A
x
B
C
D
x
x
x
y
y
y
y
o
o
o
o
1、下列图形中,能表示y是x的函数的是( )
2、下列等式中,能表示y是x的函数的是: ( )
A. B.
C. D.
(2)函数的定义域、值域
在函数y=f(x),x∈A中,x叫自变量,x的取值范围A叫做定义域,与x的值对应的y值叫函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}.
函数的三要素:定义域、值域和对应关系.
区间
设a,b是两个实数,而且a<b,我们规定:
①满足不等式的全体实数x的集合叫做闭区间,记作;
②满足不等式的全体实数x的集合叫做开区间,记作;
③满足不等式或的全体实数x的集合叫做半开半闭区间,记作,;
④满足不等式的全体实数x的集合分别记作。
【注意】区间左端点要小于区间右端点值,常作为隐藏条件用;
“”是一个符号,不是一个数。
相同函数:如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,则这两个函数相同;这是判断两函数相同的依据.
例2、下列各对函数中,是相同函数的是( )
A. B.
C. D.
【变式训练】
下列各对函数中,是相同函数的是( )
A. B.
C. D.
求函数定义域应注意的方面:
①分式的分母不能为零;
②开偶次方根的被开方数要不小于零;
③多个函数经过四则运算混合得到的函数定义域是多个定义域的交集;
④函数中不为零。
例3、求下列函数的定义域:
; (2); (3);
(4); (5)
【变式训练】求下列函数的定义域:
; (2);

(3) (4)
求函数值域的方法有“配方法”、“换元法”、“数形结合法”、“判别式法”、“分离常数法”。
例4、求下列函数值域
(1); (2)
(3) (4)
(6)
【变式训练】
(1); (2)
(3) (4)
(5) (6)
复合函数
⑴定义:如果函数的定义域为,函数的定义域是,值域是,则当时,称函数为与在上的复合函数,其中叫做中间变量, 叫做内函数,叫做外函数。
I、求复合函数的解析式,常用的途径有两种:
一是由里向外求;二是由外向里求。
例1、求下列函数的解析式
(1)已知,求
(2)已知,求
(3)已知,求
(4)已知,求一次函数的解析式
(5)已知,求的解析式.
【变式训练】
求下列函数的解析式
(1)已知,求
(2)已知,求
(3)已知,求
(4)已知,求一次函数的解析式
(5)已知,求的解析式.
II、复合函数的定义域的求法
复合函数的定义域是由外函数的定义域、内函数的值域以及内函数的定义域共同确定,内函数的值域是外函数的定义域。
【注意】函数与中的“”含义不同,中的“”与中的“”取相同的值时,他们所对应的函数值相等。
例2、已知函数的定义域为,求函数的定义域。
例3、已知函数的定义域为,求函数的定义域。
【变式练习】已知函数的定义域为,求函数的定义域。
映射
⑴定义:一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A→,y叫做象。
【注意】映射可以是多对一,不可以一对多。即A中元素不可剩余,B中元素可以剩余。特别的,集合B中的任意元素在集合A中有且只有一个原象的映射,叫做一一映射。
函数是特殊的映射,它的象和原象都是数集。
⑵映射个数的确定
一般来说,(1)若集合A有m个元素,集合B中有n个元素,则A到B的映射有个。
例、已知集合。问:
A到B的不同映射f:有多少个?
B到A的不同映射g:有多少个?
函数的表示方法

表示函数的常用方法有:解析法、列表法、图象法三种。
(1)列表法:通过列出自变量与对应函数值得表老表示函数关系的方法叫做列表法。
①优点:不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值.
②缺