文档介绍：§ 立体几何中的向量方法
要点梳理
(1)直线的方向向量:在直线上任取一向
量作为它的方向向量.
(2)平面的法向量可利用方程组求出:设a,b是
平面α内两不共线向量,n为平面α的法向量,
则求法向量的方程组为
非零
.
基础知识自主学****br/> 立体几何中的向量方法
(1)设异面直线l1,l2的方向向量分别为m1,m2,
则l1与l2所成的角θ满足.
(2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别
为m,n,则直线l与平面α所成角θ满足
.
(3)求二面角的大小
①如图①,AB、CD是二面角α—l—β的两个面
内与棱l垂直的直线,则二面角的大小θ= .
cos θ=|cos〈m1,m2〉|
sin θ=|cos〈m,n〉|
立体几何中的向量方法
②如图②③,n1,n2分别是二面角α—l—β的两
个半平面α,β的法向量,则二面角的大小θ满足
cos θ= .
cos〈n1,n2〉或-cos〈n1,n2〉
立体几何中的向量方法
如图,设AB为平面α的一条斜线段,n为平面α的
法向量,则B到平面α的距离d= .
立体几何中的向量方法
基础自测
,l2的方向向量分别为a=(2,4,-4),b=
(-6,9,6),则( )
∥l2 ⊥l2
解析∵a·b=-12+36-24=0,∴a⊥b,
∴l1⊥l2.
B
立体几何中的向量方法
(1,-1,2),平面α
的一个法向量是n=(6,-3,6),则下列点P中
在平面α内的是( )
(2,3,3) (-2,0,1)
(-4,4,0) (3,-3,4)
解析∵n=(6,-3,6)是平面α的法向量,
∴n⊥,在选项A中, =(1,4,1),
∴n· =0.
A
立体几何中的向量方法
=(0,1,0),
n=(0,1,1),则两平面所成的二面角为( )
° °
°或135° °
解析
即〈m,n〉=45°,其补角为135°.
∴两平面所成二面角为45°或135°.
C
立体几何中的向量方法
,在空间直角坐标系中,
有一棱长为a的正方体ABCO—
A′B′C′D′,A′C的中点E
与AB的中点F的距离为( )
A. B. D.
解析由图易知A(a,0,0),B(a,a,0),
C(0,a,0),A′(a,0,a).
B
立体几何中的向量方法
=(1,1,1),b=(0,2,-1),c=ma+nb+(4,-4,1).
若c与a及b都垂直,则m,n的值分别为( )
A.-1,2 ,-2
,2 D.-1,-2
解析由已知得c=(m+4,m+2n-4,m-n+1),
故a·c=3m+n+1=0,b·c=m+5n-9=0.
A
立体几何中的向量方法
题型一利用空间向量证明平行与垂直
如图所示,在四棱锥P—ABCD中,
PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,
AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,
:
(1)AE⊥CD;
(2)PD⊥平面ABE.
题型分类深度剖析
立体几何中的向量方法