文档介绍：第七章数学中的公理化方法
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§1 公理化方法概述
数学公理化方法,,,公理化方法也是一个十分重要的方法.
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一、公理化方法的含义
公理化方法是从尽可能少的基本概念和基本公理出发,应用严格的逻辑推理,,这些基本概念和基本公理,是逻辑推理的前提,是数学需要作为自己出发点少数思想上的规定.
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由公理化方法把一个数学分支建成为演绎体系,关键是引进基本概念,设置基本公理.
基本概念是一些不需定义的或隐约地受到公理制约的原始概念,它们必须是真正基本的,无法用更原始、更简单的概念去定义的概念,必须是对数学实体的高度纯化的抽象。
基本公理是无条件的、相互制约的规定,是作为对各个基本概念的相互关系和基本性质的阐述和规定,是一些不证自明的命题。基本公理不是可以随意选定的,一个良好的公理系统,所设置的公理应当满足下列三项基本要求:
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公理的相容性也称无矛盾性或和谐性,是指同一公理系统中的公理,不能自相矛盾;由这些公理推出的一切结果,也不能有丝毫矛盾。即不允许既能证明某定理成立,又能证明它的反面也成立的情况存在。
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公理的独立性,是指一个公理系统中的所有公理,不能互相推出。这就是要求该系统中公理的数目减少到最低限度,不允许公理集合中出现多余的公理,这也是对数学的“简单美”的一种追求。
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公理的完备性,是要求对一个公理系统中所有基本概念的性质,都作出明确的规定,使得这个系统中的全部命题都能毫无例外地在本系统中被证明,而在推理证明过程中,无需再用到直觉,因此,必要的公理不能省略。否则,将有某些真实命题得不到理论的证明或在证明过程中理由不充分。
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上述三项基本要求中,最主要的是相容性。
因为一个公理系统如果违反了相容性的要求,那么以这个系统中的公理作为逻辑推理的大前提,所推出的结果必然矛盾百出,造成逻辑上的混乱,因而这样的公理系统难以帮助人们认识现实世界的空间形式和数量关系,是毫无实际价值的。独立性和完备性是第二位的要求,对于一个严谨的公理系统,这两个要求也应得到满足,但是许多比较复杂的数学分支,要它的公理系统都能满足上述三项基本要求,则往往比较困难。
公理化方法的意义和作用,与其自身的不断发展密切相关。
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二、公理化方法的产生和发展
综观公理化方法发展的历史,大致可以分为三个阶段:
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——由亚里士多德的完全三段论到欧几里得《几何原本》的问世。
公元前三世纪,希腊哲学家亚里士多德在其逻辑著作《工具论》一书中,总结了古代积累起来的逻辑知识,以数学及其他演绎的学科为例,把完全三段论作为公理,由此推出其他的三段论。因此,亚里士多德是历史上第一个正式给出公理系统的作者。
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