文档介绍：第七章线性变换
§1 线性变换的定义
§2 线性变换的矩阵
§3 线性变换的运算
§4 线性变换的值域与核
§5 特征值与特征向量
§6 不变子空间
表示符号
A B C D E F G H I J K L M
N O P Q R S T U V W X Y Z
A B C D E F G H I J K L M
N O P Q R S T U V W X Y Z
A B C D E F G H I J K L M
N O P Q R S T U V W X Y Z
§1 线性变换的定义
定义
例题
性质
上一章我们看到,数域F上任意一个n维线性空间都与同构,因之,有限维线性空间的结构可以认为是完全清楚了. 线性空间V到自身的映射通常称为V的一个变换. 这一章中要讨论的线性变换就是最简单的,同时也可以认为是最基本的一种变换. 线性变换是线性代数的一个主要研究对象.
下面如果不特别声明,所考虑的都是某一固定的数域F上的线性空间.
定义
定义1 线性空间V的一个变换A 称为线性变换,如果对于V中任意的元素和数域F中任意数k,都有 以后我们一般用黑体大写拉丁字母代表V的变换, 或代表元素在变换A下的象。 定义中等式所表示的性质,有时也说成线性变换保持向量的加法与数量乘法.
例1 线性空间V中的恒等变换或称单位变换E,即
是线性变换.
例2 线性空间V中的零变换,即
是线性变换.
例3 设V是数域F上的线性空间,k是F中某个数
定义V的变换如下: 这是一个线性变换,
称为由数k决定的数乘变换,可用 K 表示。
显然,当k=1时,我们便得恒等变换,
当k=0时,便得零变换。
例4 在线性空间或者中,求微商是一个线性变换. 这个变换通常用D 代表,即
例5
取定
定义
的变换 A, 对于
A (X)=AX
判断 A 是否是一个线性变换