文档介绍：第三章空间向量与立体几何

用空间向量解决立体几何问题的步骤:
(1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题;
(2)通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题;
(3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。
(化为向量问题)
(进行向量运算)
(回到图形)
一个结晶体的形状为四棱柱,其中,以顶点A为端点的三条棱长都相等,且它们彼此的夹角都是60°,那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系?
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
解:如图1,设
化为向量问题
依据向量的加法法则,
进行向量运算
所以
回到图形问题
这个晶体的对角线的长是棱长的倍。
思考:
(1)本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系?
(2)如果一个四棱柱的各条棱长都相等,并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于, 那么有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗?
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
分析:
分析:
∴这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。
(3)本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少? 设AB=1 (提示:求两个平行平面的距离,通常归结为求两点间的距离)
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
H
分析:面面距离
点面距离
解:
∴所求的距离是
问题:如何求直线A1B1到平面ABCD的距离?
向量法求点到平面的距离:
P
A
如图,已知点P(x0,y0,z0),
在平面内任意取一点A(x1,y1,z1),
一个法向量
其中
也就是AP在法向量n上的投影的绝对值
已知正方形ABCD的边长为4,CG⊥平面ABCD,CG=2,E、F分别是AB、AD的中点,求点B到平面GEF的距离。
D
A
B
C
G
F
E
x
y
z
D
A
B
C
G
F
E
x
y
z
甲站在水库底面上的点A处,乙站在水坝斜面上的点B处。从A,B到直线(库底与水坝的交线)的距离AC和BD分别为和,CD的长为, 。
解:如图,
化为向量问题
根据向量的加法法则
进行向量运算
于是,得
设向量与的夹角为, 就是库底与水坝所成的二面角。
因此
A
B
C
D
所以
回到图形问题
库底与水坝所成二面角的余弦值为