文档介绍：(二)特殊解题方法
【穷举法】解答某些数学题,可以把问题所涉及到的数量或结论的有限种情况,不重复不遗漏地全部列举出来,以达到解决问题的目的。这种解题方法就是穷举法。
例1 从甲地到乙地有A、B、C三条路线,从乙地到丙地有D、E、F、G四条路线。问从甲地经过乙地到达丙地共有多少条路线?()
分析:从甲地到乙地有3条路线,从乙地到丙地有4条路线。从甲地经过乙地到达丙地共有下列不同的路线。
解:3×4=12
答:共有12条路线。
例2 如果一整数,与1、2、3这三个数,通过加减乘除运算(可以添加括号)组成算式,能使结果等于24,那么这个整数就称为可用的。在4、5、6、7、8、9、10、11、12这九个数中,可用的有_______个。(1992年小学数学奥林匹克初赛试题)
分析:根据题意,用列式计算的方法,把各算式都列举出来。
4×(1+2+3)=24 (5+1+2)×3=24
6×(3+2-l)=24 7×3十豆十2—24
8×3×(2-1)=24 9×3—1—2—24
10×2+l+3=24 11×2+3-l=24
12×(3+1-2)=24
通过计算可知,题中所给的9个数与1、2、3都能够组成结果是24的算式。
答:可用的数有9个。
例3 从0、3、5、7中选出三个数字能排成_______个三位数,其中能被5整除的三位数有_________个。(1993年全国小学数学竞赛预赛试题)
分析:根据题中所给的数字可知:
三位数的百位数只能有三种选择:
十位数在余下的三个数字中取一个数字,也有3种选择;
个位数在余下的两个数字中取一个数字,有2种选择。
解:把能排成的三位数穷举如下,数下标有横线的是能被5整除的。
305, 307, 350, 357, 370, 375;
503, 507, 530, 537, 570, 573;
703, 705, 730, 735, 750, 753
答:能排成18个三位数,其中能被5整除的有10个数。
例4 ?
分析:为了不重复不遗漏地数出图中有多少个大小不同的三角形,可以把三角形分成A、B、C、D四类。
A类:是基本的小三角形,在图中有这样的三角形16个;
B类:是由四个小三角形组成的三角形,在图中有这样的三角形7个。6个尖朝上,一个尖朝下。
C类:是由九个小三角形组成的三角形,在图中有这样的三角形3个,尖都朝上。
D类:是最大的三角形,图中只有1个。
解:16+7+3+1=27(个)
答:图中有大小不同的三角形共27个。
【设数法】有些数学题涉及的概念易被混淆,解题时把握不定,还有些数学题是要求两个(或几个)数量间的等量关系或者倍数关系,但已知条件却十分抽象,数量关系又很复杂,凭空思索,则不易捉摸。为了使数量关系变得简单明白,可以给题中的某一个未知量适当地设一个具体数值,以利于探索解答问题的规律,正确求得问题的答案。这种方法就是设数法。设数法是假设法的一种特例。
给哪一个未知量设数,要便于快速解题。为了使计算简便,数字尽可能小一点。在分数应用题中,所设的数以能被分母整除为好。若单位“ 1”未知,就给单位“
1”设具体数值。
例1 判断下列各题。(对的打√,错的打×)
(1)除1以外,所有自然数的倒数都小于1。( )
(2)正方体的棱长和它的体积成正比例。( )
以上各数的倒数都小于1,就能猜测此题的说法是正确的。
第(2)小题,给正方体的棱长设数,分析棱长的变化与其体积变化的规律。
由上表看出,正方体的棱长扩大2倍,体积扩大8倍;棱长扩大4倍,体积扩大64倍……这不符合正比例的含义,就能断定此题的说法是错误的。
几分之几?
分析:先把女生人数看作单位“1”,假定女生人数为60人。男生人数则为
女生人数比男生人数少几分之几,则为
解:通过设数分析,理清了数量关系,找到了解题线索,便能顺利地列出综合算式。
。
分析:这道题似乎条件不够,不知从何下手。不妨根据路程、时间、速度的关系,给从A地去B地的速度设一个具体数值试一试。
假设去时每小时走20千米,那么A、B两地的路程就是:
沿原路回家的速度则为:
回家时所需的时间则为:
解:把全路程看作单位“1”。
例4 已知甲校学生数是乙校学生数的40%,甲校女生数是甲校学生数的30%,乙校男生数是乙校学生数的42%,那么,两校女生总数占两校学生总数的百分比是____。
(1993年小学数学奥林匹克竞赛试题初赛B卷)
分析:题中没有给出具