等差数列前N项和地公式.ppt

文档介绍：等差数列的前n项和
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(1) 等差数列的通项公式:
已知首项a1和公差d,则有:
an=a1+ (n-1) d
已知第m项am和公差d,则有:
an=am+ (n-m) d, d=(an-am)/(n-m)
(2) 等差数列的性质:
在等差数列﹛an﹜中,如果m+n=p+q
(m,n,p,q∈N),那么: an+am=ap+aq
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泰姬陵坐落于印度古都阿格,是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建,她宏伟壮观,纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷,成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰,图案之细致令人叫绝。
传说陵寝中有一个三角形图案,以相同大小的圆宝石镶饰而成,共有100层(见左图),奢靡之程度,可见一斑。
你知道这个图案一共花了多少宝石吗?
问题呈现
问题1
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问题2:对于这个问题,德国著名数学家高斯10岁时曾很快求出它的结果。(你知道应如何算吗?)
这个问题,可看成是求等差数列 1,2,3,…,n,…的前100项的和。
假设1+2+3+ +100=x, (1)
那么100+99+98+ +1=x. (2)
由(1)+(2)得101+101+101+ +101=2x,
100个101
所以
x=5050.
高斯
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探究发现
问题1:图案中,第1层到第21层一共有多少颗宝石?
这是求奇数个项和的问题,不能简单模仿偶数个项求和的办法,需要把中间项11看成首、尾两项1和21的等差中项。
通过前后比较得出认识:高斯“首尾配对”的算法还得分奇、偶个项的情况求和。
有无简单的方法?
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探究发现
问题1:图案中,第1层到第21层一共有多少颗宝石?
借助几何图形之直观性,使用熟悉的几何方法:把“全等三角形”倒置,与原图补成平行四边形。
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探究发现
问题1:图案中,第1层到第21层一共有多少颗宝石?
1
2
3
21
21
20
19
1
获得算法:
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问题3:
求:1+2+3+4+…+n=?
记:S= 1 + 2 + 3 +…+(n-2)+(n-1)+n
S= n+(n-1)+(n-2)+…+ 3 + 2 +1
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设等差数列a1,a2,a3,…
它的前n 项和是 Sn=a1+a2+…+an-1+an (1)
若把次序颠倒是Sn=an+an-1+…+a2+a1 (2)
由等差数列的性质 a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…
由(1)+(2) 得 2sn=(a1+an)+(a1+an)+(a1+an)+..
即 Sn=n(a1+an)/2
下面将对等差数列的前n项和公式进行推导
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由此得到等差数列的{an}前n项和的公式
即:等差数列前n项的和等于首末项的和与项数乘积的一半。
上面的公式又可以写成
由等差数列的通项公式
an = a1+(n-1)d
解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。
正所谓:知三求二
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