文档介绍：难点5 求解函数解析式
求解函数解析式是高考重点考查内容之一,,掌握求函数解析式的几种方法,并形成能力,并培养考生的创新能力和解决实际问题的能力.
●难点磁场
(★★★★)已知f(2-cosx)=cos2x+cosx,求f(x-1).
●案例探究
[例1](1)已知函数f(x)满足f(logax)= (其中a>0,a≠1,x>0),求f(x)的表达式.
(2)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足|f(1)|=|f(-1)|=|f(0)|=1,求f(x)的表达式.
命题意图:本题主要考查函数概念中的三要素:定义域、值域和对应法则,★★★★题目.
知识依托:利用函数基础知识,特别是对“f”的理解,用好等价转化,注意定义域.
错解分析:本题对思维能力要求较高,对定义域的考查、等价转化易出错.
技巧与方法:(1)用换元法;(2)用待定系数法.
解:(1)令t=logax(a>1,t>0;0<a<1,t<0),则x=at.
因此f(t)= (at-a-t)
∴f(x)= (ax-a-x)(a>1,x>0;0<a<1,x<0)
(2)由f(1)=a+b+c,f(-1)=a-b+c,f(0)=c
得
并且f(1)、f(-1)、f(0)不能同时等于1或-1,所以所求函数为:f(x)=2x2-1或f(x)=-2x2+1或f(x)=-x2-x+1或f(x)=x2-x-1或f(x)=-x2+x+1或f(x)=x2+x-1.
[例2]设f(x)为定义在R上的偶函数,当x≤-1时,y=f(x)的图象是经过点(-2,0),斜率为1的射线,又在y=f(x)的图象中有一部分是顶点在(0,2),且过点(-1,1)的一段抛物线,试写出函数f(x)的表达式,并在图中作出其图象.
命题意图:本题主要考查函数基本知识、抛物线、射线的基本概念及其图象的作法,,★★★★题目. 知识依托:函数的奇偶性是桥梁,分类讨论是关键,待定系数求出曲线方程是主线.
错解分析:本题对思维能力要求很高,分类讨论、综合运用知识易发生混乱.
技巧与方法:合理进行分类,并运用待定系数法求函数表达式.
解:(1)当x≤-1时,设f(x)=x+b
∵射线过点(-2,0).∴0=-2+b即b=2,∴f(x)=x+2.
(2)当-1<x<1时,设f(x)=ax2+2.
∵抛物线过点(-1,1),∴1=a·(-1)2+2,即a=-1
∴f(x)=-x2+2.
(3)当x≥1时,f(x)=-x+2
综上可知:f(x)=作图由读者来完成.
●锦囊妙计
本难点所涉及的问题及解决方法主要有:
,如果已知函数解析式的构造时,用待定系数法;
,已知复合函数f[g(x)]的表达式可用换元法,当表达式较简单时也可用配凑法;
,若已知抽象的函数表达式,则用解方程组消参的方法求解f(x);
另外,在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法.
●歼灭难点训练
一、选择题
1.(★★★★)若函数f(x)=(x≠)在定义域内恒有f[f(x)]=x,则m等于( )
B. C.- D.-3
2.(★★★★★)设函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,在x≤1时,f(x)=(x+1)2-1,则x>1时f(x)等于( )
(x)=(x+3)2-1 (x)=(x-3)2-1
(x)=(x-3)2+1 (x)=(x-1)2-1
二、填空题
3.(★★★★★)已知f(x)+2f()=3x,求f(x)的解析式为_________.
4.(★★★★★)已知f(x)=ax2+bx+c,若f(0)=0且f(x+1)=f(x)+x+1,则f(x)=_________.
三、解答题
5.(★★★★)设二次函数f(x)满足f(x-2)=f(-x-2),且其图象在y轴上的截距为1,在x轴上截得的线段长为,求f(x)的解析式.
6.(★★★★)设f(x)是在(-∞,+∞)上以4为周期的函数,且f(x)是偶函数,在区间[2,3]上时,f(x)=-2(x-3)2+4,求当x∈[1,2]时f(x)、B在x轴上,C、D在y=f(x)(0≤x≤2)的图象上,求这个矩形面积的最大值.
7.(★★★★★)动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点A
出发顺次经过B、C、D再回到A,设x表示P点的行程,f(x)表示PA的长,g(x)表示△ABP的面积,求f(x)和g(x),并作出g(x)的简图.