文档介绍：关节八
审题与解法探寻的策略
任何一个解题过程都可分为两大环节,第一个环节是“解法的思考与形成”第二个环节是“解法的实施”。越是思维含量大与能力要求高的题目,越重在第一个环节。
审题与解法的探寻是构成第一个环节的两个步骤或说两个侧面,它们各有侧重但又密不可分,我们只是为了更好地进行分析和说明问题,才把二者分开来论述。
审题的策略
1、研究背景
绝大多数的数学题目,在已给的条件中都蕴含了结论的成立或不成立,即使是探究型的题目,要探究出的结论也必以条件为发生的根据。而题目所给的背景,就是最重要的条件,所以研究“背景”是获得解法的前提和启动器。
如图,已知。
A
B
C
(1)请你在BC边上分别取两点D,E,(BC的中点除外)连结AD,AE,写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件,并表示出面积相等的三角形。
A
B
C
D
E
(2)请你根据使(1)成立的相应条件,证明
【观察与思考】研究背景
对于(1),通过画草图,如图(1`),其中除了外,还有五个三角形,它们由顶点A引的高都相等,易知只有在“”的条件下,才能确保图中“只存在两对面积相等的三角形”。
对于(2),要证明,由“要证线段的不等应借于三角形中三边
的关系”这一基本认识,结合(1`)中的,立刻想到将平移至 (1`)
,再进行推导。
解:(1)略;
(2)证明:如图(1``),分别过点D,B作CA,EA的平行线,
两线交于F点,DF与AB交于G点。
A
B
C
D
E
F
G
在和中,又有,
在中,,
在中,,
。 (1``)
即
【说明】对于(2)的如上的证法,是以对(1)的基础上背景图形(1`)特点的深入认识和对“用三角形三边的关系证线段的不等关系
”这一基本模式的深刻掌握,才自然而顺利地形成的。
例2 一手机经销商计划购进某品牌的A型、B型、C型三款手机共60部,每款手机至少要购进8部,且恰好用完预计的购机款61000元,设购进A型手机部,B型手机部,三款手机的进价和预售价如下表:
手机型号
A型
B型
C型
进价(单位:元/部)
900
1200
1100
预售价(单位:元/部)
1200
1600
1300
(1)用含,的式子表示购进C型手机的部数;
(2)求出与之间的函数关系式;
(3)假设所购进手机全部售出,综合考虑各种因素,该手机经销商在购进这批手机过程中需另外
支出各种费用共1500元。
①求出预估利润(元)与(部)的函数关系式;(注:预估利润=预售总额—购机款—各种费用)。
②求出预估利润的最大值,并写出此时购进三款手机各多少部?
【观察与思考】梳理本题的数量关系背景:
背景一:三款手机的进价和预售价(如题中的表所示)
背景二:购进A型、B型、C型三款手机共60部,即;
背景三:购进60部手机恰好用61000元,即;
对以上三方面的背景进一步研究,可知:
Ⅰ、对于问题(1),由背景二即可明确解答。
Ⅱ、对于问题(2),显然单由背景二不能解决,若将背景二和背景三相结合,则两个交量(和),在两个关系中(背景二和背景三所确定的两个等量关系),便相依存地联系在了一起,——这正是我们在函数部分指出的建立函数关系的第三条途径,——通过等式导出函数关系式。
Ⅲ、对于问题(3),有了问题(1)、(2)的解决,再根据背景三,可由“直接列式法”写出与的函数关系式进而解决最大利润问题。
解:(1);
(2)由题意和(1)得:,
从中可导出:
(3)由①题意,得,
整理得
②购进C型手机部数为:,根据题意列不等式组得
,
解得
的范围为,且为整数,
是的一次函数,随的增大而增大。
当取最大值34时,P有最大值,最大值为17500元。
此时购进A型手机34部,B型手机18部,C型手机8部。
【说明】由本题可以看出,只有全面而深入地研究背景,把握每一背景的作用和互相结合的意义,才有助于正确而快速地获得问题的解决方法。
从背景的本质特征,背景的构成层次与相互关系诸方面将其研究透彻,是审题的根本任务,也是解法获得的基础。
2、研究“过程
有的题目的条件或背景的一部分表现为一种活动过程,而在题目的呈现中,这样的“过程”只是被描述出,或部分呈现出,其全部的意义和性质,大都隐含在“过程”之中,在此情况下,深入而全面地研究“过程”,便是解法获得的关键。
A
B
Ⅰ
例3 如图,边长为1的等边三角形位于坐标系中的Ⅰ的位置,AB在轴上,点A与原点O重合,现将在轴上向右滑动地连续翻转,第次翻转后变换到的位置记为,则的坐标为。
【观察与思考】对于的连续翻转过程做如下的研究:
研究Ⅰ:在图上画出更多的后续过程