文档介绍：第三篇知识与思考策略结合运用的专题解析
※掌握每类问题中知识和思考策略应用的规律,将有效地提高数学的解题能力。
关节九
探究一:用代数式表示变化规律
用代数式把一列变化着的式或图形的规律表示出来,是探究性题目中很重要的一类,现在我们来研究解决这类题目所用到的主要数学思想和思考方法:
它们是:
Ⅰ、以归纳概括为指导的思考方法;
Ⅱ、以函数思想为指导的方法;
Ⅲ、以直接计算为指导的方法。
一、借助以归纳为指导的思想方法,得到表示变化规律的代数式
这种思想方法的核心是通过分析与研究提供的“变化片断”——一些连续的特殊情况,归纳概括出整个变化过程所体现的规律,并用代数式将其表示出来,在实际运用中,又根据题目的实际情况,可分为三种形式:“一般归纳型”;
“分类归纳型”;“递推归纳型”。
1、一般归纳型
思考特点是:第一,系统考察所提供的一系列特殊,从每个特殊与其位次的对应关系上找共同的规律,第二,特别注意研究相邻两项之间的相关性。
例1 如图,下列几何体是由棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的,若将露出的表面都涂上颜色(底面不涂色),则第个几何体中只有两个面涂色的小立方体共有。
①
② ③
【观察与思考】我们把上面各图中满足“只有两个面涂色的立方体”用涂色法表示出来:

……
①②
③
…上面一层
…下面层
…下面三层
…上面一层
…上面一层
...下面两层
…上面一层
…下面一层
……第个:
解:应选.
例2 如图,是用火柴棒摆出的一系列三角形图案,按这种方式摆下去,当每边上摆10根火柴棒时,
共需要摆根火柴棒.
10根
10根
10根
……
【观察与思考】本题可以归结为在相应图形中求有多少个涂色的小三角形(所用火柴棒数就等于这样的三角形数再乘以3).为了找到规律,可以将每边4根火柴棒的情况也画出:
…
(1) (2 (3) (4) (10)
涂色三角形 1 …归纳概括:
的个数:

解:应填165 .
【说明】例1和例2,都是统一系列变化的“图形”,首先是要分离出符合要求的部分,使问题简化与明晰化,然后依次观察、对比,找出共同的规律来。
例3 世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示:则排在第10行从左边数第3个位置上的数是( )
A、 B、 C、 D、
【观察与思考】仔细分析与研究后可以发现:(1)每一行左数从第一个数为该行的倒数;
(2)每行中间及偏左的数,都等于它左上角的数减去它左边的数,如第3行中,,如第7行中,
依(1)和(2)可知:第9行左数第2个数为;第10行左数第2 个数为,第10行左数第3个数应为
解:应选B。
【说明】在本题,研究“系统”和“研究”相互间的关系“体现得极为突出。
例4 探索的正方形钉子板上(是钉子板每边上的钉子数),连接任意两个钉子所得到的不同长度值的线段种数:

当时,钉子板上所连不同线段的长度值只有1与,所以不同长度值的线段只有2种,若用表示不同长度值的线段种数。则
当时,钉子板上所连不同线段的长度值只有五种,比时增加了3种,即。
(1)观察图形,填写下表:
钉子数
值

2

2+3

2+3+( )

( )
(2)写出和的两个钉子板上,不同长度值的线段种数之间的关系;(用式子或语言表述均可)。
(3)对的钉子板,写出用表示的代数式。
【观察与思考】当时,钉子板上所连不同线段的长度值只有。(这些是时已有的),(新增加的)——即左下角的钉子分别和最上一行四个钉子的所连线段的长——(第一层归纳);
时比时多出3个种数;时比时多出4个种数;……时比时多出个种数;-----(第二层归纳).
有了以上两个层次的归纳概括,三个问题的解都已是水到渠成.
解:(1)两个括号内应分别埴: 4; 2+3+4+5;
(2) 的钉子板比的钉子板中不同长度值的线段种数增加了种;
(3).
【说明】归纳的实质是从若干个特殊中发现共性,因此应从研究特殊和特殊之间的关联入手,这一点,本题体现得比较充分.
2、分类归纳型
思考特点是:第一,先根据背景与问题的特点,选定标准并按其分类;第二,将问题按所属类别做出解答。
例5 观察下列等式:,,,,,通过观察,用你所发现的规律确定的个位数字是。
【观察与思考】将题目提供的一列数字按“个位数”的情况重新分类:
个位数字
2的乘方
2
…归纳概括为(为自然数,下同)
4
…归纳概括为
6
归纳概括为
8
归纳概括为
而,个位数字应为6。
解:个位数应为6。
例6 如图,已知,,…,则点和点的坐标
分别为; 。
4
-3
-2
-4
2