文档介绍：关节十
图形变换引出的计算与证明
图形(或部分图形)经“平移”、“轴对称”或“旋转”(包括中心对称)之后,就会引起图形形状,位置关系的变化,就会出现新的图形和新的关系。因此,图形变换引出的问题主要有两类:一类是变换引出的新的性质和位置关系问题;另一类是变换引出的几何量的计算问题。
一、图形平移变换引出的几何计算与证明
这类问题的解法的思考应当突出两点:
Ⅰ、把背景图形研究清楚;
Ⅱ、充分运用图形平移的性质,特别应注意的是:“平移变换不改变角度”(即平移中的线和不平移的线,交角的大小不变)。
两者的恰当结合,就是解法的基础。
A
B
C
P
例1 如图,若将边长为的两个互相重合的正方形纸片沿对角线翻折成等腰直角三角形后,再抽出一个等腰直角三角形沿移动,若重叠部分的面积是,则移动的距离等于。
【观察与思考】第一,搞清楚背景图形:和
均为底边长为的等腰直角三角形;第二,由平移搞
清楚新图形的特征:由于平移不改变角度,可知也
是等腰直角三角形,这样一来,
即。解得而,
。
解:填。
【说明】可以看出,由背景和平移的性质相结合得出为等腰直角三角形,是本题迅速获解之关键。
B
C
A
()
F
E
例2 如图(1),已知的面积为3,且现将沿CA方向平移CA长度得到。
(1)求所扫过的图形面积;
(2)试判断,AF与BE的位置关系,并说明理由;
(3)若求AC的长。 (1)
【观察与思考】第一,搞清楚原图形即的特征:
面积为3,第二,搞清楚平移过程:平移沿CA方向进行;平移距离
为CA的长度。注意!这就意味着每一对对应点之间的距离都等于CA,
当然就有。由此可知:
(1)扫过的图形即为菱形的两条对角线;
B
C
A
()
F
E
(2)AF和BE就是菱形的两条对角线;
(3)的条件下,由求出AC的长。 (1`)
各问题解法得到,落实如下:
解:(1)如图(1`)扫过的图形为菱形,
而。
(2)如图(1`),为菱形的两条对角线,,并且AF,BE互相平分。
(3)若则,作于D,如图(1``),则,
A
C
B
D
由,解得。 (1``)
【说明】由本题可以看出,原图形背景和平移性质的结合是解法获得的基础。
A
B
E
F
P
A
B
A
B
C
D
例3 如图(1)所示,一张三角形纸片,。沿斜边AB的中线CD把这线纸片剪成和两个三角形如图(2)所示。将纸片沿直线(AB)方向平移(点始终在同一条直线上),当点与点B重合时,停止平移,在平移的过程中,与交于点E,与分别交于点F,P。
(1) (2) (3)
(1)当平移到如图(3)所示的位置时,猜想图中与的数量关系,并证明你的猜想。
(2)设平移距离为,与重叠部分的面积为,请写出与的函数关系式,以及自变量的取值范围;
(3)对于(2)中的结论是否存在这样的,使得重叠部分面积等于原纸片面积的?若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由。
【观察与思考】第一,搞清楚背景图形(即图(2)所示的平移前的图形),(略)
第二,搞清楚平移过程:平移不改变角的大小;任意一对对应点的距离都等于图形平移的距离,按本题要求,平移距离满足:。
A
B
E
F
P
对于问题(1),注意到在图(3)中有:和都是等腰三角形(由和为等腰三角形演变而来),以及(由图中(2)的演变而来),相应的猜想及证明都易得到;
对于问题(2),若在图(3)中作辅助线:作交AB于,
如图(3`),易知∽∽(图(1)中)。
(3`)
对于问题(3),由(2)的结果构造相应的方程即可。
解:(1),证明如下:
,又是斜边AB的中线(原图(1)
即
。同理:
又。
(2)作交AB于,如图(3`),由(1)知
。
而∽∽,且它们的斜边长依次为。
其中。
(3)令即,解得
所以存在,使重叠部分的面积为面积的,这时,平移的距离为或5。
【说明】从本题可以看出:
Ⅰ、恰当运用平移变换的性质(如角度不变)极为重要,这体现在问题(1)的解法中。
Ⅱ、充分而灵活运用平移构成的三角形相似很重要(由角度不变易造成相似),这体现在问题(2)的解法中。
图形平移的问题,解决的关键在于运用好“平移变换”的性质。
二、图形的轴对称变换引出的计算与证明
这类问题解决的思考应当突出以下两点:
Ⅰ、把背景图形研究清楚;
Ⅱ、充分注意轴对称的两部分全等,对称轴是任意对称两点连线的垂直平分线。
两者的恰当结合,就是解法的基础。
图形的轴对称问题,解决的关键在于运用好“轴对称变换”的性质!
A
B
C
D
N
M
Q
P
例1 如图(1),边长为1的正方形