文档介绍：关节十四
坐标系里的几何图形
将几何图形置于坐标系,是为了用代数的方法研究图形,因此坐标系里是“数形结合”的大演场,是“几何与代数综合”的新舞台。现在,我们就来研究这类问题的思考与解法特征。
坐标系里的几何图形问题又可分三类:
Ⅰ、坐标系里的基本几何图形;
Ⅱ、坐标系里的几何图形引入动点;
Ⅲ、坐标系里的几何图形实施交换。
※这三类问题围绕的共同核心都是“求点的坐标”与“求线段的长度”,解决的共同依据是“几何图形的性质”(包括变换的性质)和“几何计算”(特别是构造与解直角三角形。)
一、坐标系里的基本几何图形
A
B
C
M
N
E
60°
例1 如图,已知边长为1的正方形在直角坐标系中,B,C两点在第二象限内,与轴的夹角为,那么C点的坐标是,B点的坐标是。
【观察与思考】去构造合适的直角三角形,如图那样作辅助线,可由求得点C的坐标,由和求得点B的坐标。
解:如图所示,作轴于点M,在
中,,
C点的坐标为。
又设AB与轴的交点为E,轴于N。
在中,。
在中,
。
点B在第二象限,B点的坐标为)。
【说明】从本题可以看出:
Ⅰ、求点的坐标是坐标系里几何图形问题的核心,而求点的坐标的基本过程是分这样的两步走:首先,选定或构造恰当的直角三角形,通过解相关的直角三角形,求得有关的线段的长;然后根据点所在的象限,将有关线段的长转换为点的坐标。
Ⅱ、坐标系里图形问题解法的优或劣,决定因素表现在对相关直角三角形的选取和构造上。
例2 如图,在平面直角坐标系中,以点为圆心,以长为半径作⊙M交轴于A,B两点,交轴于C,D两点,连结并延长交⊙M于P点,连结PC交轴于E。
(1)求出CP所在直线的解析式;
C
P
A
M
B
E
(2)连结AC,求的面积。
【观察与思考】对于(1),要求CP所在直线的解析式,只要求出C点和P点的坐标即可。
对于(2),要求的面积,注意,则可归结为去求线段AC,PC的长度。当然更巧妙的方法是在知道的情况下,转为去求等边三角形的面积。
解:(1)连结是⊙M的直径,。
是⊙M的直径,且垂直弦AB,平分弦AB。
在中,。
又点的坐标为。
又知,设直线CP的解析式为,则
解得: 直线CP的解析式为。
(2)在中,
又为等边三角形,且边,
。
而。
【说明】Ⅰ、本例进一步说明,坐标系里图形式问题,都是以求点的坐标和线段的长度为核心,为基础的。
Ⅱ、要善于抓住背景图形的特征,如本题的第(2)问,正是利用了为等边三角形这一特殊点,从而使计算简化了。
A
B
C
例3 如图(1),在平面直角坐标系中,的斜边AB在轴上,顶点C在轴的负半轴上,点P在线段上,且的长是方程的两根。
(1)求P点的坐标;
(2)求AP的长;
(3)在轴上是否存在点Q,使以点A,C,P,Q为顶点的
四边形是梯形?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请
说明理由。 (1)
【观察与思考】对于(1),只要求出题目所给方程的根,则易知P点的坐标;
对于(2),由(1)已求得P点的坐标,再由的长度和,可由中推得A点的坐标,进而可得AP的长;
A
B
C
P
对于(3)实际上是由P点作与AC的平行的直线和轴的交点Q,或由C点作与AP平行的直线和轴的交点Q,再依作法求Q点的坐标。
解:(1)解方程,得。
又,可知。得P点的坐标为。 (1`)
(2)由(1)知,。又,
在中,。
。
(3)如图(1`),由图上分析可知:当,且交轴于时,四边形是梯形,或者,,且交轴于时,四边形为梯形。
①若在轴上,且,则∽,
)。
②若在轴上,且,则∽,
)。
这就是说,当Q的坐标为()时,四边形ACPQ为梯形,而当Q的坐标为()时,四边形AQCP也为梯形。
【说明】1、可以看出,求点的坐标和线段长都是坐标系里图形问题的基础,除了运用解直角三角形的方法之外,借助于相似三角形(特别是相似的直角三角形)也是常用的手段。
11、类似于本题中(3)这样的问题,切要注意先在图形上分析清楚,然后再去进行推导和计算,我们把它概括为“先在图上分析、操作,再用代数的方法表示出来。”
二、坐标系里的图形引入动点
B
A
P
Q
例1 如图(1),直角坐标系中,已知点),),动点从点出发沿向终点运动,动点从点A出发沿AB向终点B运动,两点同时出发,速度均为每秒1个单位,设从出发起运动了。
(1)求Q点的坐标;(用含的代数式表示)
(2)当为何值时,是一个以AP为腰的等腰三角形? (1)
【观察与思考】对于(1),若作轴于M,作于N,可借助和的相似关系,导出Q点的坐标来。
对于(2),可通过“等腰”(即线段相等)构造关于的方程来解决