文档介绍：关节十八
研究性问题的思考要点
研究性问题最根本的特点在于它具有“获取新知识”的意义或意味,也即它不单纯是已学的课本知识的应用,而是包含有理解和掌握一个“新概念”或“新规定”、发现和总结一个“新规律”或“新结论”的成份及过程,它可以突出地考查我们的“学习能力”和“发现与创新”能力。
从所依循的思考方向和思维方法来看,研究性问题可大体分为三类:
Ⅰ、通过引入的“新概念”或“新规定”及其应用,重在体现和考查“抽象概括”的能力”;
Ⅱ、通过设置由“特殊到一般”或“由一般到另一特殊”的活动情意,并从中归纳或类比总结出“新规律”,重在体现和考查“合情推理”的能力。
Ⅲ、通过对已知的普遍认识的基础上添加特殊条件或限制,以获得更特殊更深入的新认识,重在体现和考查由特殊化使认识走向更深入。
一、设置“新概念”或“新规定”情景的研究性问题
这类问题的思考要点在于把握准“新概念”和“新规定”的实质,或说根本特征,从而将其应用在所属的具体情景之中。
例1 如图(1),菱形、矩形与正方形的形状有差异,我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”。在研究“接近度”时,应保证相似图形的“接近度”相等。
(1)设菱形相邻两个内角的度数分别为和,将菱形的“接近度”定义为,于是越小,菱形越接近于正方形。
①若菱形的一个内角为70°,则该菱形的“接近度”等于;
②当菱形的“接近度”等于时,菱形是正方形。
(2)设矩形相邻两条边长分别是和(),将矩形的“接近度”定义为,于是越小,矩形越接近于正方形。
你认为这种说法是否合理?若不合理,给出矩形的“接近度”一个合理定义。
【观察与思考】对于(1),关键是准确地把握:菱形的“接近度”为,其中和是该菱形“相邻两内角的度数”。
对于(2),首先要弄清:应保证相似图形的“接近度”相等,此乃是“接近度”的本质特征,接下来的问题就好解决了。
解:(1)① 40。②。
(2)不合理,例如,对两个相似而不全等的矩形来说,它们接近正方形的程度是相同的,但却不相等,合理定义方法不唯一,如定义为。越小,矩形越接近于正方形;越大,矩形与正方形的形状差异越大;当时,矩形就变成了正方形。
【说明】在本题,关键是要能把握“接近度”这一个新概念的本质特征。
例2 在平面内,先将一个多边形以点为位似中心放大或缩小,使所得多边形与原多边形对应线段的比为,并且原多边形上的任一点,它的对应点在线段或其延长线上;接着将所得多边形式以点为旋转中心,逆时针旋转一个角度过,这种经过位似和旋转的图形变换叫做旋转相似变换,记为(,),其中点叫做旋转相似中心,叫做相似比,叫做旋转角。
(1)填空:
①如图(1),将以点A为旋转相似中心,放大为原来的2倍,再逆时针旋转60°,得到, 这个旋转相似变换记为A( , );
A
C
D
E
B
B
C
G
F
D
E
A
H
I
A
B
C
D
E
②如图(2),是边长为1的等边三角形,将它作旋转相似变换A(),得到,则线段长为;
(1) (2) (3)
(2)如图(3),分别以锐角三角形的三边AB,BC,CA为边向外作正方形,点分别是这三个正方形的对角线交点,试分别利用,之间的关系,运用旋转相似变换的知识说明线段之间的关系。
【观察与思考】关键就是要把(,)的特征——即位似与旋转的规定——搞清搞准。以下问题都是这些特征的具体化和运用。
解:(1)① 2,60°;② 2;
(2)经过旋转相似变换),得到,此时,线段变为线段。
经过旋转相似变换),得到,此时,线段变为线段。
,
。
【说明】从本题可以看出,所谓掌握一个“新概念”或“新规定”,是指能将它应用在具体的问题中和复合的问题中,这也正是抽象概括能力的基本表现形式。
二、设置“发现新规律”的研究性问题
这类问题的思考要点在于把握准“由特殊到一般”或“由特殊到特殊”的共同点或共同属性,借归纳或类比概括出带有一定“普遍性”的规律。
例1 提出问题:如图(1),在四边形中,P是AD边上任意一点,与和的面积之间有什么关系?
探究发现:为了解决这个问题,我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手。
A
B
C
D
P
A
B
C
D
P
(1)当时(如图(2)
的高相等。 (1)
。
的高相等。
。
。 (2)

。
(2)当时,探求与和之间的关系,写出求解过程;
(3)当时,探求与和之间的关系为: ;
(4)一般地,当(表示正整数)时,探求与和之间的关系,写出求解过程;
问题解决:当时,与和之间的关系式为: 。
【观察与思考】对于(2),关键是将(1)的推理过程类比到时的情景,看其是否成立;对于(3)是将(1)、(2