文档介绍：解圆锥曲线问题的常用方法大全1、定义法(1)椭圆有两种定义。第一定义中,r1+r2=2a。第二定义中,r1=ed1r2=ed2。(2)双曲线有两种定义。第一定义中,,当r1>r2时,注意r2的最小值为c-a:第二定义中,r1=ed1,r2=ed2,尤其应注意第二定义的应用,常常将半径与“点到准线距离”互相转化。(3)抛物线只有一种定义,而此定义的作用较椭圆、双曲线更大,很多抛物线问题用定义解决更直接简明。2、韦达定理法因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理直接解决,但应注意不要忽视判别式的作用。3、解析几何的运算中,常设一些量而并不解解出这些量,利用这些量过渡使问题得以解决,这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题,常用“点差法”,即设弦的两个端点A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB中点为M(x0,y0),将点A、B坐标代入圆锥曲线方程,作差后,产生弦中点与弦斜率的关系,这是一种常见的“设而不求”法,具体有:(1)与直线相交于A、B,设弦AB中点为M(x0,y0),则有。(2)与直线l相交于A、B,设弦AB中点为M(x0,y0)则有(3)y2=2px(p>0)与直线l相交于A、B设弦AB中点为M(x0,y0),则有2y0k=2p,即y0k=p.【典型例题】例1、(1)抛物线C:y2 =4x上一点P到点A(3,4)与到准线的距离和最小,则点P的坐标为______________(2)抛物线C:y2 =4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标为。分析:(1)A在抛物线外,如图,连PF,则,因而易发现,当A、P、F三点共线时,距离和最小。(2)B在抛物线内,如图,作QR⊥l交于R,则当B、Q、R三点共线时,距离和最小。解:(1)(2,)连PF,当A、P、F三点共线时,最小,此时AF的方程为即y=2(x-1),代入y2=4x得P(2,2),(注:另一交点为(),它为直线AF与抛物线的另一交点,舍去)(2)()过Q作QR⊥l交于R,当B、Q、R三点共线时,最小,此时Q点的纵坐标为1,代入y2=4x得x=,∴Q()点评:这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题,请仔细体会。例2、F是椭圆的右焦点,A(1,1)为椭圆内一定点,P为椭圆上一动点。(1)的最小值为(2)的最小值为分析:PF为椭圆的一个焦半径,常需将另一焦半径或准线作出来考虑问题。解:(1)4-设另一焦点为,则(-1,0)连A,P当P是A的延长线与椭圆的交点时,取得最小值为4-。(2)3作出右准线l,作PH⊥l交于H,因a2=4,b2=3,c2=1,a=2,c=1,e=,∴∴当A、P、H三点共线时,其和最小,最小值为例3、动圆M与圆C1:(x+1)2+y2=36内切,与圆C2:(x-1)2+y2=4外切,求圆心M的轨迹方程。分析:作图时,要注意相切时的“图形特征”:两个圆心与切点这三点共线(如图中的A、M、C共线,B、D、M共线)。列式的主要途径是动圆的“半径等于半径”(如图中的)。解:如图,,∴∴(*)∴点M的轨迹为椭圆,2a=8,a=4,c=1,b2=15轨迹方程为点评:得到方程(*)后,应直接利用椭圆的定义写出方程,而无需再用距离公式列式求解,即列出,再移项,平方,…相当于将椭圆标准方程推导了一遍,较繁琐!例4、△ABC中,B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=sinA,求点A的轨迹方程。分析:由于sinA、sinB、sinC的关系为一次齐次式,两边乘以2R(R为外接圆半径),可转化为边长的关系。解:sinC-sinB=sinA2RsinC-2RsinB=·2RsinA∴即(*)∴点A的轨迹为双曲线的右支(去掉顶点)∵2a=6,2c=10∴a=3,c=5,b=4所求轨迹方程为(x>3)点评:要注意利用定义直接解题,这里由(*)式直接用定义说明了轨迹(双曲线右支)例5、定长为3的线段AB的两个端点在y=x2上移动,AB中点为M,求点M到x轴的最短距离。分析:(1)可直接利用抛物线设点,如设A(x1,x12),B(x2,X22),又设AB中点为M(x0y0)用弦长公式及中点公式得出y0关于x0的函数表达式,再用函数思想求出最短距离。(2)M到x轴的距离是一种“点线距离”,可先考虑M到准线的距离,想到用定义法。解法一:设A(x1,x12),B(x2,x22),AB中点M(x0,y0)①②③则由①得(x1-x2)2[1+(x1+x2)2]=9即[(x1+x2)2-4x1x2]·[1+(x1+x2)2]=9④