文档介绍：:..§,矩形单元是一种比较简单的单元。由于采用了双线性函数单元内的应力是线性变化的,局部母单元与三角元相比,更好地反映了单元内实际应力的变化状况。但矩形单元不能适应曲线边界和非正交的直线边界(如图)。 X如对任意四边形,采用矩形单元的双线性位移函数,则沿边界上(单元的矢量边界)位移不再是线性变化的,这样其位移的连续性将得不到保证。为此,我们可采川这样的坐标变换法:将原來的任意四边形单元(子单元)变换为一个正方形单元(母单元)。显然,母单元是正方形,便可以应用矩形单元的双线性位移函数。沿其边界也就线性化了,从而位移协调也就得到了保证。这样,我们取子单元来自结构,它代表了真实结构的儿何特征,然后通过坐标变换转换到母单元上去,进行一系列有限元运算。它可以保证各单元公共边界上的位移连续性(这一条是有限元收敛于真实结果的最重要条件)。从而保证了计算结果的正确性。进行坐标变换当然离不开插值函数,取插值函数当然与沿边界上所取节点数目有关。另外,我们在母单元进行位移插值当然也需要有位移插值函数,它与沿边界上所取节点数n有关。若两种插值函数的取得相同,这样它们有相同的插值函数的形态(也就是有相同的节点数目),这种单元称为“等参元”。若坐标变换的形状函数高于位移形状函数的次数(),称为“超参元”,这种单元除了一些特殊情况外,一般是不适用的,因这时单元可能是曲线边界,而单元的位移函数是线性的,其位移s然不能适应边界的变化情况。单元会出现不连续位移。反之,若坐标变换的形状函数低于位移形状函数的次数,则称为“亚参元”,此时笮元的边界可能为直线,而位移均为曲线,但在边界上可能只有两个节点,故位移要降阶为线性,能够保证位移的连续性,所以是可用的。(参数坐标变换)假没两个坐标系存在—映射关系,即'可以表示为&的函数 ,Xi=Z(C2),且此映射反之也存在,即(产以〜x2){f:^x\^XER2},一般写成d(x)。局部系中的一条直线映射为总体系中的一条曲线,故X与f中的线元可以由微分式联系:G’求和)dX=JdC/为变换的雅可比Jacobia矩阵若该运算存在,则定义.•dXj=^-Ldx:’ax;3x,3a:,dx2dx2-!dX(求和)dx;为使任何变换,成为可逆变换,JZL点在感兴趣的某区域(R)中 对应,其充分条件是:①是R中连续一阶偏导的,f的单值连续函数;②在R中任意一点,</为有限值(即一^/0)odet⑺这两个条件还只表针变换是允许的。由于我们还要求在变换过程中,右手系仍然保持右手系,故变换还许要求是正则的,这就要求(det(7))的伉为正。:dxj=eld^2即,么在Z系屮有单位变化,在X系屮的变化同理:dx2=e2dxy=e3=dV,dVx=(e2xe3)-e}dx}9x,dxt3x?Avdx2dx23x3dx3dx3dV,Jvd^d^d^:咖,又2,%3)轮換求导对于二维情况,同理可得:Jp,<,,“严听咖,x2)<x):从X系中可以看出,空间微表面元(如~与~所夹表面)dSx-1^/x^2|=d'i+d2j+d3k代入如~与~得表达式,可得:Js=|必|=yjdy+dy+djd'3x,dx3dx}dx3、wA)dx{dx23x,3x?^3^2jd,:如沿6轴变化则在X系屮得变换dlx=J'd$' <=dl=dx2+dx3J\="dx^(以网节点等参元为例介绍)单元边长为2得正方形,局部坐标系含7/取在形心处,节点编号的转14如图所示(这里的节点左边取为±1)。子单元上其局部坐标系含7/也取在形心处,节点编号及转向的取法与母单元相同。在这里的它的节点坐标也是己知的。如前所述,为实现上述坐标变换,我们取矩形单元的位移函数作为坐标变换的插值函数,即:'=-《X1-")/V2=4(1+3(1-77)^=l(l+^)(l4-Z7)4yv4=j(i-^)(i+z7)4综合起來,N记,= +权)(1+研)i=1,2,3,4•I1234-1111川-1-111这吋,坐标变换关系式为4 4x=YjNixiy=^Niyi写成矩阵形式:i=\ /=1<y!叉2>’2x3>S义4上式即为母单元(局部系)上一点变化成子单元(总体系)上一点Cr,W的转换关系。经过上述变换后,子单元的边界是线性的,两个子元的边界是相等的。:经上述变换后,我们可以采川矩形单元的位移函数,即N' 0 N2 0 N, 0 7V4 0o n} o n2 o n3 o ;v丄”)又2Ax4(3