文档介绍：三角函数有理式不定积分计算方法研究
作者:吴丁盟指导老师:陈素根
摘要:介绍三角函数有理式不定积分,三角函数有理式不定积分的基本的计算方法。在数学分析教材中讲解的基本方法的基础上,又归纳出几种方法。熟悉掌握和应用这些方法对于解决有理式的不定积分问题非常重要,有利于进一步拓宽思路,大大提高不定积分的运算能力。

关键词: 不定积分有理函数三角有理式换元积分法分部积分法
1 引言:
数学的发展归根到底是为了探究大自然的规律,所以数学不可能只是某些经验事实的积累它有其哲学的思辨,在人类文化各个分支中,数学可能是唯一依靠逻辑规则建立自己的分支,本文是关于三角函数有理式不定积分计算方法研究。三角函数有理式不定积分计算式数学分析中常见的题型,也是不定积分的核心与难点,其在实际生活、工程设计中应用也是很广泛。不同形式的三角函数有理式不定积分之间的知识点之间既有联系也有区别,为了能充分认识各种形式,本文主要研究各种三角函数有理式不定积分的在数学分析解题中的具体方法,并进行总结归纳、形成分类、最后对某些类型形成一个合理的公式解法。
2 三角函数有理式不定积分方法:
定义:三角函数有理式的积分,即型的积分,其计算方法的总思路就是把它转化为有理函数的不定积分。计算方法多种多样,有一种通用的计算方法——万能代换。
一、万能公式法(换元法):令,就有,且
,

于是
例:求
解:( 用万能代换)
二、凑微分法或第一类换元法
定义:设函数在所考虑的区间内是可微的,且知则有:
注:(分析复合函数求导法则)基本积分表中,把它的积分变量x换成可微函数时,公式仍成立。
例: ==
=
常用微分关系式:
(1) (2)
(3) (4)
(5) (6)
(7) (8)
(9) (10)
例: =
=—
三、换元法即变量代换法(第二类换元法或第二类变量代替法)
定义(第二类换元法):
设是单调可导函数,且,又具有原函数,则有:

注:在具体运用换元法时,关键是选择适当的变换式
例1:

四、分部积分法
例1:
定理(分部积分法):
若均具有连续的导数,且存在,则也存在,并有:
举例:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
从上述几例得,若是多项式,则对形如:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
举例
(1)
(2)(分析:先去根号用变量替代法)
(3)
以上分别介绍三种基本积分法,其实一个积分可能有多种方法,在基本方法的基础上,应选择较好的方法求解
例如:
解法一:(凑微分法)
解法二:(换元法)
解法三:(分部积分法)
利用对称性积分
设函数是(a>0)上的奇函数,则有
设函数是(a>0)上的偶函数,则有
将以上的对称性加以推广,可以得到如下命题1、2.
命题1 设函数在(a>0)上可积,且,
即函数关于直线对称,则有
命题2 设函数在(a>0)上可积,且,
即函数关于直线x=反对称,则有
例1:计算I=.
显然有
而由命题2,因为
也即关于反对称,故有
所以
例2 计算(a为任意实数).
解不妨令那么

递推公式法
为了计算将其化成与有关的表达式,其中,如此继续下去,将问题转化为求最后的一个或几个积分,这种计算定积分的方法称为递推公式法.
例3 计算
解利用分部积分法可得
移项得递推公式,
重复上述公式,结合
可得
例4 计算
解先使用凑微分可得
因为,所以,

七、组合积分法
求积分时,根据的特点,构造一个与结构相似的积分
或分解为两个相似的积分和,使得=+,
最后将和或和两个积分组合起来,通过解和或和形成的方程组来求解积分的方法称为组合积分法
例5 计算积分
解不妨设
则有
解之得,
从而有,
例6 计算积分
不妨设
则有
解之得,
故可求得,
利用留数法
有些积分积分中的被积函数不能或者不易用初等函数表示出来,这时候可以利用留数定理,将要求的
积分转化为复变函数沿闭路曲线的积分,从而将积分计算转化为留数计算,此方法也称围道积分法.
柯西留数定理:在周线或复周线C所范围的区域D内,除外解析,在闭域
上除了外连续,则(“大范围”积分).
例7 计算
不妨设
那么,
所以
而在内,只有一级极点,
从而,.
所以
例8 计算
不妨设类似例7有
当时,
当时,
从而可得,
九、形如的不定积分的解法
对形如(其中不同时为0)的一类积分,利用给出了一种简捷求法,得出如下积分结果:
其中
本文在给出此类积分的另一种简捷求法,思路是将被积函数