文档介绍：第3讲圆的方程
★知识梳理★
1. 圆的标准方程与一般方程
①圆的标准方程为,其中圆心为,半径为r;
②圆的一般方程为,圆心坐标,半径为。方程表示圆的充要条件是
3. 若圆与轴相切,则;若圆与轴相切,则
4. 若圆关于轴对称,则;
若圆关于轴对称,则;
若圆关于轴对称,则;
5、点与圆的位置关系:
在圆内
在圆上
在圆外
★重难点突破★
重点: 掌握确定圆的几何要素, 掌握圆的标准方程和圆的一般方程,
难点:根据已知条件,求圆的方程
重难点:围绕圆的几何性质进行合理转化,运用方程思想列出关于参数:(或)得到方程组,进而求出圆的方程
圆上的动点到已知直线(或点)的距离的最大值和最小值,转化为圆心到已知直线(或点)的距离来处理
问题1:已知圆和点,点P在圆上,求面积的最小值
点拔:圆心(4,3)到直线的距离为,P到直线的距离的最小值为
,求面积的最小值为
问题2:圆关于直线对称,则
点拨:圆关于直线对称的实质是圆心在直线上,因此可将圆心坐标代入直线方程解决
解析:
问题3:圆关于直线的对称圆的方程为
点拨:两圆和关于直线对称,可以转化为点对称问题(即圆心和关于直线对称且半径相等),也可以用相关点法来处理,后一种方法更有推广价值
解析:方法1:原点关于直线的对称点为(1,1),所以圆关于直线的对称圆的方程为
方法2:设是圆上一动点,它关于直线的对称点为,
则
在圆,
圆关于直线的对称圆的方程为
★热点考点题型探析★
考点1 圆的方程
题型1: 对圆的方程的认识
[例1 ]设方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0。
(1)当且仅当m在什么范围内,该方程表示一个圆。
(2)当m在以上范围内变化时,求半径最大的圆的方程。
(3)求圆心的轨迹方程
[解析](1)由得:,
化简得:,解得:。
所以当时,该方程表示一个圆。
(2)r==,当时,
(3)设圆心,则,消去得
所求的轨迹方程为
【名师指引】(1)已知圆的一般方程,要能熟练求出圆心坐标、半径及掌握方程表示圆的条件;(2)第3问求圆心的轨迹方程,使用了参数法,即把x,y都表示成m的函数,消去参数可得到方程,用此法要注意变量x,y的范围
题型2: 求圆的方程
[例2](1)求经过点A(5,2),B(3,2),圆心在直线2x-y-3=0 上的圆的方程;
(2)求以O(0,0),A(2,0),B(0,4)为顶点的三角形OAB外接圆的方程。
【解题思路】根据条件,列方程组求参数
[解析](1)设圆心,则有
,所求圆的方程为
(2)采用一般式,设圆的方程为,将三个已知点的坐标代入得,解得:
故所求圆的方程为
【名师指引】(1)求圆的方程必须满足三个独立条件方可求解,选择方程的形式,合理列出方程组是关键,(2)当条件与圆心、半径有关时常选择标准方程,当条件是圆经过三个点时,常选用一般方程
【新题导练】
,方程表示的圆的个数为( ).
A、0个 B、1个 C、2个 D、3个
解析:B
得,满足条件的只有一个,方程
表示的圆的个数为1.
2. ( 广州六中200