文档介绍：2-3函数的奇偶性与周期性
基础巩固强化
1.(2012·洛阳示范高中联考)下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)单调递增的函数是( )
=x3 =|x|+1
=-x2+1 =2-|x|
[答案] B
[解析] y=x3是奇函数,y=-x2+1与y=2-|x|在(0,+∞)上为减函数,故选B.
2.(文)设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=2x-3,则f(-2)的值等于( )
A.-1 B.
D.-
[答案] A
[解析] f(2)=22-3=1,又f(x)是奇函数,
∴f(-2)=-f(2)=-1,故选A.
(理)(2011·浙江杭州月考)已知函数f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x+2x+m(m为常数),则f(-1)的值为( )
A.-3 B.-1
[答案] A
[解析] ∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(0)=0,即f(0)=20+m=0,解得m=-1.
∴当x≥0时,f(x)=2x+2x-1,f(1)=21+2×1-1=3,
f(-1)=-f(1)=-3.
3.(文)函数f(x)(x∈R)是周期为3的奇函数,且f(-1)=a,则f(2014)的值为( )
B.-a
[答案] B
[解析] ∵f(x)周期为3,
∴f(2014)=f(671×3+1)=f(1),
∵f(x)为奇函数,f(-1)=a,
∴f(1)=-a,故选B.
(理)(2012·河南商丘模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数,它的最小正周期为T,则f(-)的值为( )
A.-
C.
[答案] B
[解析] ∵f(-)=-f(),且f(-)=f(-+T)=f(),∴f()=0,∴f(-)=0.
4.(文)(2011·北京东城一模)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x>0时,f(x)=ln(x+1),则函数f(x)的图象大致为( )
[答案] C
[解析] 函数f(x)=ln(x+1)的图象由f(x)=lnx的图象向左平移1个单位得到,选取x>0的部分,然后作关于y轴的对称图形即得.
(理)
(2011·北京西城模拟)定义在R上的偶函数f(x)的部分图象如图所示,则在(-2,0)上,下列函数中与f(x)的单调性不同的是( )
=x2+1 =|x|+1
= =
[答案] C
[解析] ∵f(x)为偶函数,由图象知,f(x)在(-2,0)上为减函数,而y=x3+1在(-∞,0)上为增函数.
(x)满足f(0)=2-,且对任意的x都有f(x+3)=,则f(2013)的值为( )
A.-2- B.-2+
- D.-3-
[答案] A
[解析] 由题意得f(x+6)=f(x+3+3)===f(x).∴函数f(x)的周期为6.
f(2013)=f(335×6+3)=f(3),而f(3)=f(0+3)=-=-=-2-.
6.(文)(2011·合肥模拟)设f(x)是偶函数,且当x>0时是单调函数,则满足f(2x)=f()的所有x之和为( )
A.- B.-
C.-8
[答案] C
[解析] ∵f(x)是偶函数,f(2x)=f(),
∴f(|2x|)=f(||).
又∵f(x)在(0,+∞)上为单调函数,
∴|2x|=||,即2x=或2x=-,
整理得2x2+7x-1=0或2x2+9x+1=0,
设方程2x2+7x-1=0的两根为x1,x2,方程2x2+9x+1=0的两根为x3,x4.
则(x1+x2)+(x3+x4)=-+(-)=-8.
(理)已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,且在(-∞,0]上是增函数,设a=f(log47),b=f(log3),c=f(),则a、b、c的大小关系是( )
<b<a <c<a
<a<c <b<c
[答案] C
[解析] 由题意知f(x)=f(|x|).
∵log47=log2>1,|log3|=log23>log2,0<<1,
∴|log3|>|log47|>||.
又∵f(x)在(-∞,0]上是增函数,且f(x)为偶函数,
∴f(x)在[0,+∞)上是减函数.
∴b<a<.
7.(文)若f(x)是定义在R上的偶函数,其图象关于直线x=2对称,且当x∈(-2,2)时,f(x)=-x2+(-5)=________.
[答案] 0
[解析] 由题意知f(-5)=f(5)=f(2+3)=f(2-3)=f(-1