文档介绍：第四章张量函数和张量分析在前面三章中主要对集合的代数结构进行了讨论,并由多重线性映射引入了张量空间。而第三章中对张量空间的各元素(张量)间的各种代数运算(加法、数乘、张量积、点积等)作了详尽的分析。但这些代数运算所构成的张量空间的代数结构仍无法对张量空间点列的收敛性、张量空间与张量空间的映射及映射的连续性等进行描述。本章的主要内容旨在解决上述问题。。{o;i1,i2,i3}是V的一组标准正交坐标系。设Pr是由V张成的r阶张量空间。且对任意r阶张量A∈Pr,有:如果对任意的A∈Pr,存在二组实数:使得:(-1)那么的满足(-1)的每一组3r个取值确定一个A。而满足(-1)的所有A构成Pr的一个子集合,且称这一子集合为Pr的一个闭集(若等号不成立则称为开集)。记为P。设P是Pr张量空间的开集。按第一章第四节的标量积可以定义A,B∈P的标量积:(-1)容易证明具有下列性质:i)对称性:(-2)ii)线性性:(-3)iii)正定性:(-4)对任意Pr中的张量A,B∈P。由(-1)式可引入张量的模和两张量之间的距离。其定义如下:(-5)(-6)一、张量函数设V是三维Euclid矢量空间,{o;i1,i2,i3}是V的一组标准正交坐标系。Pr、Ps是由{o;i1,i2,i3}基底构成的r阶和s阶张量空间。若存在映射F使得:(-7)F(Φ)是r阶张量自变量的s阶张量值函数。张量函数的自变量取值的开集(或闭集)Φ∈PPr的P称为张量函数的定义域;张量函数F(Φ)的所有定义域中Φ的取值集合(s阶张量集合)称为张量函数的值域。当r≤2,s≤2时有:=0,s=0时:Φ记为x;F记为f。则:(-8a)f(x)称为零阶张量自变量的零阶张量值函数。f(x)就是一元实函数。=1,s=0时:Φ记为u;F记为f。则:(-8b)F(u)称为一阶张量自变量的零阶张量值函数。或称f(u)是矢量自变量的标量值函数。=1,s=1时:Φ记为u,F记为f,则:(-8c)F(u)称为一阶张量自变量的一阶张量值函数。或称f(u)是矢量自变量的矢量值函数。=2,s=0时:Φ记为A;F记为F。则:(-8d)F(A)称为二阶张量自变量的零阶张量值函数。或称F(A)是二阶张量自变量的标量值函数。=2,s=2时:Φ记为A;F记为F。则:(-8e)F(A)称为二阶张量自变量的二阶张量值函数。例1:张量函数例子。(a)设矢量a是V中任意给定的矢量;x是V中的矢量。则:式中f()取为法则a·()。那么f(x)=a·(x)是矢量自变量的标量值函数。函数可写为:而对同一个a及变矢量x:式中f()取为法则a×()。那么f(x)=a×(x)是矢量自变量的矢量值函数。函数可写为:(b)对任意位置矢量x所标定的物体中的点。该点的应力状态可由应力张量σ表示。对确定的受力物体,同一点不同截面上的应力可由该截面的外法线矢量和应力张量表示。且:式中n是截面的单位外法线;σ是二阶应力张量;p是外法线为n截面上的应力矢量。显然物体受力是确定的,而对同一位置矢量标定的点,σ是不变的常二阶张量。因此pn的函数(不同截面上的应力矢量不同)。即:(c)第三章例23给出的:式中应变二阶张量ε=ε(σ)是应力二阶张量的函数。即是二阶张量自变量的二阶张量值函数。二、张量函数的连续性为了引入张量函数的连续性,首先回顾一元实函数的连续性定义。设一元实函数为f(x)。若对任意给定的正数ε,总存在着一个正数δ。使得当所有x满足:时,对应的函数都有:则称f(x)在x0点连续。该定义是通过两个绝对值|x-x0|、|f(x)–f(x0)|确定了f(x)在x0点的连续性。由实函数理论|x-x0|和|f(x)–f(x0)|按距离的概念分别代表了实数x和x0离概念的引入使得一元实函数的连续性可以推广到张量函的距离及给定的x和x0的函数值f(x)和f(x0)的距离。正是距数的连续性定义。设张量函数为F(A)。若对任意给定的正数ε,总存在着一个正数δ。使得当所有的自变量张量A满足:时,对应的张量函数都有:(-9)则称F(A)在A0点连续。对张量函数F(A),若(-9)式成立,则该式也可写成极限的形式:(-10)这一表达式中:表示:在V中的坐标系{o;i1,i2,i3}下,张量函数F(A)可表示为:将这一表示形式代入(-10)式得:这表明张量函数F(A)的每一个分量函数(分量函数本身是r阶张量自变量的标量值函数)在A0点是连续函数。那么F(A)的A0点是连续函数。关于张量函数连续性的更深入的理论分析主要是针对函数在A0是否连续以及在A0点不连续时的性质等。而本章的所有