文档介绍：三角形的四心与平面向量总结三角形“四心”;若O是的重心,则故;;若O是(非直角三角形)的垂心,(或),使条件变得更简洁。如果记的单位向量为,则刚才O是内心的充要条件可以写成,O是内心的充要条件也可以是。若O是的内心,则 P故;是的内心;向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线);范例(一),A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足,则P点的轨迹一定通过的()(A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心解析:因为是向量的单位向量设与方向上的单位向量分别为,又,则原式可化为,由菱形的基本性质知AP平分,那么在中,AP平分,则知选B.(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”△ABC所在平面内任一点,点H是△,同理,.故H是△ABC的垂心.(反之亦然(证略))例3.(湖南)P是△ABC所在平面上一点,若,则P是△ABC的(D ) :.(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”△ABC所在平面内一点,=0点G是△,图中连结BE和CE,则CE=GB,BE=GCBGCE为平行四边形D是BC的中点,=0,得=0,故G是△ABC的重心.(反之亦然(证略))△△∵G是△ABC的重心∴=0=0,即由此可得.(反之亦然(证略))例6若为内一点,,则是的(    )                          :由得,如图以OB、OC为相邻两边构作平行四边形,则,由平行四边形性质知,,同理可证其它两边上的这个性质,所以是重心,选D。(四)将平面向量与三角形外心结合考查例7若为内一点,,则是的(    )                          :由向量模的定义知到的三顶点距离相等。故是的外心 ,选B。(五),,满足条件++=0,||=||=||=1,求证△P1P2P3是正三角形.(《数学》第一册(下),复****参考题五B组第6题)证明由已知+=-,两边平方得·=,同理·=·=,∴||=||=||=,从而△,若点O是正三角形△P1P2P3的中心,则显然有++=0且||=||=||.即O是△ABC所在平面内一点,++=0且||=||=||点O是正△P1P2P3 △ABC中,已知Q、G、H分别是三角形的外心、重心、垂心。求证:Q、G、H三点共线,且QG:GH=1:2。【证明】:以A为原点,AB所在的直线为x轴,建立如图所示的直角坐标系。设A(0,0)、B(x1,0)、C(x2,y2),D、E、F分别为AB、BC、AC的中点,则有:由题设可设,AB(x1,0)C(x2,y2)yxHQGDEF即,故Q、G、H三点共线,且QG:GH=1:、H分别是△△AB