文档介绍：关节十七
图形的分割与剪拼
纵观近年来全国各地的中考试卷,图形操作型的问题渐多,而这些题又可分为两大类:一类是围绕“图形变换”展开的(我们已有专题论及),另一类是围绕图形的分割与剪拼展开的。我们现在要研究的,就是这后边的一类,分割与剪拼的形式与依据主要有:
Ⅰ、原图形基础上进行分割,而分割的要求又分为:
(1)借助于“边、角”计算的分割;
(2)依“面积等分”为要求的分割;
Ⅱ、将原图形等面积地变化成新图形的“剪与拼”。
一、图形的分割
1、借助于“边、角”计算的分割
例1 (1)已知中,,请画一条直线,把这个三角形分割成两个等腰三角形。
A
C
(2)已知中,是其最小的内角,过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形,请探求与之间的关系。
【观察与思考】对于(1)只需“构造等角”;对于(2), (1)
可从“等边”推演角之间的关系。
A
B
C
解:(1)如图①,图②,有两种不同的分割法。
(2)设,,过顶点B的直线 ①
交边AC于D。在等腰三角形中,
①若是顶角,如图③,则,
A
B
C
。 ②
此时只能有,即,
A
B
C
D
,即与的关系是:
。
②若是底角,则有两种情况。 ③
第一种情况:如图④,当时,则,
A
B
C
D
中,。
Ⅰ、由,得,此时有,即有关系。 ④
Ⅱ、由,得,此时,
即。
A
B
C
D
Ⅲ、由,得,此时,
即,为小于45°的任意锐角。 ⑤
第二种情况,如图⑤,当时,,
此时只能有,
从而,这与题设是最小角矛盾。
当是底角时,不成立。
【说明】本题是通过特定的分割推导角之间的特殊关系。
例2 如图(1),在和中,,。
(1)判断这两个三角形是否相似?并说明为什么?
(2)能否分别过在这两个三角形中各作一条辅助线,使分割成的两个三角形与
分割成的两个三角形分别对应相似?证明你的结论。
A
B
C
D
E
F
(1)
【观察与思考】对于(1),只需算出即可。
对于(2),可沿着“若有两个角对应相等,则两三角形相似”去作适当的辅助线。
解:(1)不相似。中;
在中,,
。,与不相似。
(2)能分割成两个分别相似的三角形,作如图(1`)所示的辅助线进行分割。
具体操作:作,交BC于;作,交于。
A
B
C
M
由作法和已知条件可知。
,,,
,
。
D
E
F
N
,。 (1`)
∽。
【说明】本题是从构造等角出发构造相似三角形,这一方法被普遍采用。
例3 现有一张长和宽之比为2:1的长方形纸片,将它折两次(第一次折后也可打开铺平再折第二次),使得折痕将纸片分为面积相等且不重叠的四个部分(称为一个操作)。如图甲(虚线表示折痕)。除图甲外,请你再给出三个不同的操作(规定:一个操作得到的四个图形,和另一个操作得到的四个图形,如果能够“配对”得到四组全等的图形,那么就认为是相同的操作。如图乙和图甲是相同的操作)。
(甲) (乙)
解:答案例举如下:
【说明】由本题的解法可以看出:要得到面积相等的图形,一可以构造“全等图形”,二可以由面积公式出发。
例4 如图(1)所示的形铁皮,工人师傅想用一条直线将其分成面积相等的两部分。请你帮工人师傅设计三种不同的分割方案(画出示意图)。
2
2
4
4
【观察与思考】形铁皮可以看成由两个正方形相割而成,又
可以看成由一个矩形和一个正方形拼合而成,应充分利用正方 (1)
形的轴对称性和矩形与正方形的中心对称性,因为“轴对称”
和“中心对称”的两个图形面积都是相等的。
解:如图(1),(2),(3)。
(1) (2)
(3)
【说明】在本题,恰当地运用了基本图形的轴对称性质和中心对称性质。
例5 我们能把平分四边形面积的直线称为“好线”,利用下面的作图,可以得到四边形的“好线”:在四边形中,取对角线的中点,连结,显然,折线能把四边形的面积平分,再过点作,交于,则直线即为一条“好线”。(如图(1)
(1)试证明:确为一条“好线”;
A
B
C
D
E
M
A
B
C
D
E
F
(2)如图(2),若为四边形的一条“好线”,为上一点,请作出过的一条“好线”,并说明理由。
(1) (2)
【观察与思考】对于(1),只需证明即可,而这由很多容易得到。
对于(2),其原理与的作法相同。
解:(1)证明:是对角线的中点,
。
A
B
C
D
E
F
H
N
。 (2`)
。
是“好线”。
(2)这样作:连结,作,交于。如图(2`),则直线为“好线”。理由如下:
。
。
【说明】在本题,主要借