文档介绍：复****提纲(函数、极限与连续)函数有界函数,周期函数,奇偶函数,复合函数,反函数,显函数,隐函数,初等函数,分段函数,导函数,积分上限函数。定义域:使函数解析式有意义的的取值范围分式:根式开偶次方根:为偶数),对数:,反三角函数:,函数值记法:已知,求例:,求及定义域例:,求及定义域奇偶性:关于原点对称,若,偶函数;,奇函数常见的奇函数:,;常见的偶函数:;注:对任意函数,偶函数,为奇函数例:已知,试补充在上的表达式使其在区间上构成偶函数(偶延拓)常见的有界函数:(常数)周期函数:,为周期1)的周期为;2)的周期也是(的周期)3)分别是以为周期的函数,则是以的最小公倍数为周期的函数。4)常见函数的周期:;。二、:(确定常数)注:若数列存在极限,称其收敛;否则称之为发散。:1)同时成立;注:等函数当时的极限要分别考虑2)注::惟一性,有界性,保号性极限存在准则:单调有界,)无穷小:以零为极限的量称为无穷小量,即无穷大:(此时极限不存在);2)无穷大与无穷小的关系:在自变量的同一变化过程中,①若是无穷小且,则是无穷大;②若是无穷大,则是无穷小。3)无穷小的运算性质:①有限个无穷小之和、积仍为无穷小;②有界函数与无穷小之积为无穷小。4)无穷小的比较:设(即:为无穷小)①若,称是的高阶无穷小,记作;②若,(),称与是同阶无穷小;③若,称与是等价无穷小,记为5)常用的等价无穷小当时,,.推广:当时,有6)等价无穷小应用:利用等价无穷小代换求极限设且存在,则。注:1)只在乘除因子中用,加减运算时不适用,例:不能直接代换。2)洛必达法则只是极限存在的充分条件而非必要的。)推广:①当时,这里将换成结论仍成立②当时,,及中任意两个商的极限为1。2)或推广:①当时,(为常数)②当时,(为常数):若,在邻域内可导,且则:使用法则时注意:①只有才能使用,只要是可多次使用;②每用完一次,要将式子整理化简后再用法则;③为简便运算,往往先对等式恒等变形或用等价无穷小代换后再用法则。)是初等函数,是其定义域内的一点,用代入法:例2)有理分式函数的极限例,例3)无穷小与有界函数之积仍为无穷小例例例4)未定型“”①因式分解:约去零因子例②含有根式:有理化例例③洛必达法则:(存在)例例(先代换,令,再用法则)例(先代换,令,再用法则)④重要极限:例例(极限存在部分先计算,能用等价无穷小代换的先代换再用法则)例(两个重要极限都用到)5)未定型“”①有理函数用公式:(抓大头)例②洛必达法则例例(不能使用洛必达)③分子分母同除因子:例6)未定型①分式:通分例②含根式:有理化例③作代换:例7)未定型:化为或例(化为)例(化为)例(化为)8)指数型:利用对数恒等式化为:;对还可利用重要极限例例例9)分段函数在分段点的极限:用左右极限及极限存在的充要条件考虑例,求例,求注:若的极限式中含有,特别是的,一定分别求出时的极限,两者相等,则极限存在,否则不存在。10)数列无限项和的极限:利用极限存在准则(夹逼定理)例11)数列敛散性的判定和证明例设,试证数列极限存在,并求此极限。12)积分上限函数的极限:用洛必达法则例13)某些特定的极限:用导数的定义求例设,求14)已知极限,求常数例,求例,求例设,求常数。15)已知一个极限,求另一个极限例设,求例,求16)无穷小阶的比较例时,,求例时,,求三、::;一切初等函数在其定义域内连续函数。(在点不连续):函数在没有定义,或,或不存在;间断点的分类:1)第一类间断点:左右极限存在但不相等(跳跃间断点)左右极限存在相等,但函数在该点没定义(可去间断点)左右极限存在相等,但不等于函数值(可去间断点)2)第二类间断点:左右极限中至少有一个不存在。闭区间上连续函数的性质(用于证明题中)1)有界性:闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得最大值与最小值。2)零点定理:设函数在闭区间上连续,且,那么在内至少存在一点,使。3)介值定理:设函数在闭区间上连续,且在这区间的端点,那么对于之间的任意一个数,在开区间内至少有一点,使得。)讨论函数的连续性例讨论的连续性。解:,的连续区间2)设,求的间断点并判别其类型。解:,所以为间断点;且,所以是第二类间断点。:1)直接法:其程序是先用最值定理,再用介值定理例设在上连续,且,证明:在内至少存在一个,使得,其中为任意常数。证一:因为在上连续,所以在上有最大值和最小值,则