文档介绍：《高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一,极限是《高等数学》的重要组成部分。求极限方法众多,非常灵活,给函授学员的学****带来较大困难,而极限学的好坏直接关系到《高等数学》后面内容的学****下面先对极限概念和一些结果进行总结,然后通过例题给出求极限的各种方法,以便学员更好地掌握这部分知识。一、极限定义、:(各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材,这里不一一叙述)。说明:(1)一些最简单的数列或函数的极限(极限值可以观察得到)都可以用上面的极限严格定义证明,例如:;;;等等(2)在后面求极限时,(1)中提到的简单极限作为已知结果直接运用,而不需再用极限严格定义证明。,都存在,极限值分别为A,B,则下面极限都存在,且有(1)(2)(3)说明:极限号下面的极限过程是一致的;同时注意法则成立的条件,当条件不满足时,不能用。(1)(2);说明:不仅要能够运用这两个重要极限本身,还应能够熟练运用它们的变形形式,作者简介:靳一东,男,(1964—),副教授。例如:,,;等等。(即极限是0)。定理3当时,下列函数都是无穷小(即极限是0),且相互等价,即有:~~~~~~。说明:当上面每个函数中的自变量x换成时(),仍有上面的等价关系成立,例如:当时,~;~。定理4如果函数都是时的无穷小,且~,~,则当存在时,也存在且等于,即=。(或无穷大)时,函数和满足:(1)和的极限都是0或都是无穷大;(2)和都可导,且的导数不为0;(3)存在(或是无穷大);则极限也一定存在,且等于,即=。说明:定理5称为洛比达法则,用该法则求极限时,应注意条件是否满足,只要有一条不满足,洛比达法则就不能应用。特别要注意条件(1)是否满足,即验证所求极限是否为“”型或“”型;条件(2)一般都满足,而条件(3)则在求导完毕后可以知道是否满足。另外,洛比达法则可以连续使用,但每次使用之前都需要注意条件。,即如果是函数的定义去间内的一点,则有。(准则1)单调有界数列必有极限。定理8(准则2)已知为三个数列,且满足:(1)(2),则极限一定存在,且极限值也是a,即。二、求极限方法举例用初等方法变形后,再利用极限运算法则求极限例1解:原式=。注:本题也可以用洛比达法则。例2解:原式=。例3解:原式。利用函数的连续性(定理6)求极限例4解:因为是函数的一个连续点,所以原式=。利用两个重要极限求极限例5解:原式=。注:本题也可以用洛比达法则。例6解:原式=。例7解:原式=。利用定理2求极限例8解:原式=0(定理2的结果)。利用等价无穷小代换(定理4)求极限例9解:~,~, 原式=。例10解:原式=。注:下面的解法是错误的:原式=。正如下面例题解法错误一样:。例11解:,所以,原式=。(最后一步用到定理2)利用洛比达法则求极限说明:当所求极限中的函数比较复杂时,也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。同时,洛比达法则还可以连续使用。例12(例4)解:原式=。(最后一步用到了重要极限)例13解:原式=。例14解:原式==。(连续用洛比达法则,最后用重要极限)例15解:例18解:错误解法:原式=。正确解法:应该注意,洛比达法则并不是总可以用,如下例。例19解:易见:该极限是“”型,但用洛比达法则后得到:,此极限不存在,而原来极限却是存在的。正确做法如下:原式=(分子、分母同时除以x)=(利用定理1和定理2)利用极限存在准则求极限例20已知,求解:易证:数列单调递增,且有界(0<<2),由准则1极限存在,设。对已知的递推公式两边求极限,得:,解得:或(不合题意,舍去)所以。例21解:易见:因为,所以由准则2得:。上面对求极限的常用方法进行了比较全面的总结,由此可以看出,求极限方法灵活多样,而且许多题目不只用到一种方法,因此,要想熟练掌握各种方法,必须多做练****在练****中体会。另外,求极限还有其它一些方法,如用定积分求极限等,由于不常用,这里不作介绍。极限与连续的62个典型****题****题1设,,则有,.,,知,,即..利用两边夹定理知****题3 (变量替换法)令,则当时,于是,(变量替换法)令,(型)。为了利用重要极限****题9 研究下列极限(1).∵原式,其中,.∴上式极限等于0,即.(2).因为,,所以.(3). ,求的值。