文档介绍：数学物理方程:从物理问题中导出的函数方程,特别
是偏微分方程和积分方程。
重点讨论:二阶线性偏微分方程。
第5章数学物理方程和定解条件的导出
1. 物理规律的数学表示——泛定方程
物理规律物理量u在空间和时间中的变化规律,即物理量u在各个地点和各个时刻所取的值之间的联系。
(2)直接表现只能是u在邻近地点和邻近时刻所取的值
之间的关系式。这种邻近地点、邻近时刻之间的关
系往往是偏微分方程。泛定方程反映的是同一类物
理现象的共性,和具体条件无关。
例:牛顿第二定律反映的是力学现象的普遍规律,跟
具体条件无关。
这种联系
有可能从边界条件和初始条件去推算u在任意地点(x,y,z)和任意时刻t的值u(x,y,z,t)。
t=0(初始):
例:一个物体做竖直上抛运动,一个物体斜抛运动。
同一类物理现象中,各个具体问题又各有其特殊性,即个性。边界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历史,即个性。
第一种情况
第二种情况
2. 定解条件的提出
方程:两种情况下都为
由初始条件得特解:
(1)对竖直上抛:
(2)对斜向上抛:
不同的初始条件不同的运动状态,但都服从
牛顿第二定律。
结论:
讨论在什么定解条件下,对于哪一函数类,方程的解是唯一的。通过唯一性问题的研究,可以明确:对于一定的方程,需要多少个以及哪些定解条件才能唯一确定一个解。
在给定的边界条件和初始条件下,根据已知的物理规律,解出某个物理量u 在给定的区域里随着地点(x,y,z)和时刻t怎样变化,即求u(x,y,z,t)。
另外,数理方程理论还有三个主要问题:
定解问题的完整提法:
(1) 解的存在性问题(2) 解的唯一性问题
(3)稳定性问题(初始条件微变时,解的变化也很小,称解是稳定的)
讨论当定解条件略微改变时,解的变化如何。这个问题的重要性在于:把一个物理问题表示成数学问题时,一般总是作了一些简化或理想化的假定,与真实情况有出入。研究稳定性问题,就可以对解的近似程度作出估计。若解不稳定,定解条件的细小误差导致了解的极大变化,则定解问题的解就不能正确地反映其确定的物理现象。
此外,用不同方法解同一个问题时,得到解的表示式可能不一样,如果在理论上能证明解是唯一的,则这两个形式不同的解必相等。
一、均匀细杆的纵振动方程(杆:非刚性杆)
设:均匀细棒(杆),沿杆长方向作微小振动
u(x,t): 平衡时坐标为x的点在t时刻沿x方向的位移。
求:细杆上各点的运动规律。
研究对象:取一不包含端点的小段(x,x+dx),并设杆的
横截面积为s,密度为,杨氏模量为Y
该小段在t时刻的伸长量u(x+dx,t)-u(x,t)
相对伸长量:
波动问题的定解问题
胡克定律
(P:应力,作用于单位横截面的内力)
对该小段,有两个侧面两侧均受到应力的作用
沿x方向的合力:
令, 并记: ,有
得
问题:方程中a的物理意义?(从其表达式看出,它是反
映杆本身性质的一个量)
由牛顿第二定律:
(杆的纵振动方程)