文档介绍：把方程的解表示为以为中心、带有待定系数的幂级数,将这个幂级数代入方程及定解条件,求出所有待定系数即可得该方程的解。
需要求二阶线性齐次常微分方程
第7章二阶线性常微分方程
的解。这里z是复变量, 和是已知的复变函数,称为方程的系数, 是待求的未知函数
线性常微分方程的级数解法
利用复变函数论求二阶线性齐次常微分方程的级数解。具体为:
(2)对于级数,存在是否收敛和收敛范围的问题。用级数解法要选定某个点作展开中心,得到的解是以为中心的幂级数。另外还必须确定幂级数的收敛圆,级数解只在收敛圆内部才有意义。
说明:
(1)级数解法是一个比较普遍的方法,对方程无特殊的要求。
二阶线性常微分方程解的一般性质
二阶线性齐次常微分方程的标准形式:
(7-1-0)
其中:w ( z )—未知的复变函数,p (z )、q ( z )—已知的
复变函数(方程的系数)
在一定条件下( 如初始条件)
满足(7-1-0)的 w( z )。
要求解的问题:
方程(7-1-0)的解的性质(解的存在性、唯一性、稳定性、
单值性等) 由方程的系数 p ( z)和 q ( z )的解析性确定。
设 p ( z )和q ( z)在一定的区域中,除若干个孤立奇点外,
是z的单值解析函数。区域中的点可分为两类:
:如果 p ( z)和 q ( z)都在点的邻域解析,
则: 称为方程的常点。
可以证明:在常点的邻域内,方程(7-1-0)
(其中任意常数)
例:求厄米特方程在邻域内的解。
的幂级数解。解的具体形式:
有唯一满足初始条件
解1. 级数解的形式
由于在解析是方程的常点。
级数解具有以下形式:
比较同次幂的系数,对上式作变换:
,求待定系数。
( :任意常数)
级数解具有以下形式
令
由上式可见,偶次幂与奇次幂项彼此独立,可分别用
表示。
由于上式在的邻域内成立,即是 z 的一个恒等式,故 z
的同次幂的系数为0,则
——待定系数的递推关系
3. 线性无关的解:
都是方程的解,但线性无关。方程的通解是
与的线性组合。
同理:
3. 方程的奇点:
只要两系数p(z)和q(z)之一在点不解析, 就称为方程的奇点。如果最多是 p(z)的一阶极点, q(z)的二阶极点,则称为方程的正则奇点。否则,则称为方程的非正则奇点。
定理1. 如果是方程的奇点,则在 p(z)和 q(z) 都解析的环状区域内,方程的两个线性无关解是
4. 正则奇点邻域的级数解
补充:关于指标方程的来源。
或
(7-1-2)
(7-1-3)
(7-1-1)
可以看到,在是方程的奇点的情形下,如果或者
不是整数,或者, 方程都有多值函数解。
显然,把解(7-1-1),(7-1-2)或(7-1-3)代入方程中去确定
时
会发现所得到的是一组无穷多个未知数的联立方程。
但在一定条件下,会出现(7-1-1),(7-1-2)或(7-1-3)式中
其中: 是常数
级数没有负幂项的情形。这样的解称为正则解。