文档介绍：高数知识点总结(上册)函数:绝对值得性质: (1)|a+b||a|+|b| (2)|a-b||a|-|b| (3)|ab|=|a||b| (4)||=函数的表示方法: (1)表格法(2)图示法(3)公式法(解析法)函数的几种性质: (1)函数的有界性(2)函数的单调性 (3)函数的奇偶性(4)函数的周期性反函数: 定理:如果函数在区间[a,b]上是单调的,则它的反函数存在,且是单值、单调的。基本初等函数: (1)幂函数(2)指数函数 (3)对数函数(4)三角函数 (5)反三角函数复合函数的应用极限与连续性:数列的极限: 定义:设是一个数列,a是一个定数。如果对于任意给定的正数(不管它多么小),总存在正整数N,使得对于n>N的一切,不等式都成立,则称数a是数列的极限,或称数列收敛于a,记做,或()收敛数列的有界性: 定理:如果数列收敛,则数列一定有界 推论:(1)无界一定发散(2)收敛一定有界(3)有界命题不一定收敛函数的极限: 定义及几何定义函数极限的性质: (1)同号性定理:如果,而且A>0(或A<0),则必存在的某一邻域,当x在该邻域内(点可除外),有(或)。 (2)如果,且在的某一邻域内(),恒有(或),则()。 (3)如果存在,则极限值是唯一的 (4)如果存在,则在在点的某一邻域内()是有界的。无穷小与无穷大: 注意:无穷小不是一个很小的数,而是一个以零位极限的变量。但是零是可作为无穷小的唯一的常数,因为如果则对任给的,总有,即常数零满足无穷小的定义。除此之外,任何无论多么小的数,都不满足无穷小的定义,都不是无穷小。无穷小与无穷大之间的关系: (1)如果函数为无穷大,则为无穷小 (2)如果函数为无穷小,且,则为无穷大具有极限的函数与无穷小的关系: (1)具有极限的函数等于极限值与一个无穷小的和(2)如果函数可表为常数与无穷小的和,则该常数就是函数的极限关于无穷小的几个性质: 定理: (1)有限个无穷小的代数和也是无穷小 (2)有界函数与无穷小a的乘积是无穷小 推论: (1)常数与无穷小的乘积是无穷小(2)有限个无穷小的乘积是无穷小极限的四则运算法则: 定理:两个函数、的代数和的极限等于它们的极限的代数和两个函数、乘积的极限等于它们的极限的乘积极限存在准则与两个重要极限: 准则一(夹挤定理) 设函数、、在的某个邻域内(点可除外)满足条件: (1) (2), 则 准则二单调有界数列必有极限定理:如果单调数列有界,则它的极限必存在重要极限:(1) (2)(3)或无穷小阶的定义: 设为同一过程的两个无穷小。(1)如果,则称是比高阶的无穷小,记做(2)如果,则称是比低阶的无穷小(3)如果,则称与是同阶无穷小(4)如果,则称与是等阶无穷小,记做几种等价无穷小:对数函数中常用的等价无穷小: 时, 三角函数及反三角函数中常用的等价无穷小: 时,指数函数中常用的等价无穷小: 时,二项式中常用的等价无穷小:时,函数在某一点处连续的条件: 由连续定义可知,函数在点处连续必须同时满足下列三个条件: (1)在点处有定义 (2)当时,的极限存在 (3)极限值等于函数在点处的函数值极限与连续的关系: 如果函数在点处连续,由连续定义可知,当时,的极限一定存在,反之,则不一定成立函数的间断点: 分类:第一类间断点 (左右极限都存在) 第二类间断点(有一个极限不存在)连续函数的和、差、积、商的连续性: 定理:如果函数、在点处连续,则他们的和、差、积、商(分母不为零)在点也连续反函数的连续性: 定理:如果函数在某区间上是单调增(或单调减)的连续函数,则它的反函数也在对应的区间上是单调增(或单调减)的连续函数最大值与最小值定理: 定理:设函数在闭区间上连续,则函数在闭区间上必有最大值和最小值 推论:如果函数在闭区间上连续,则在上有界介值定理: 定理:设函数在闭区间上连续,两端点处的函数值分别为,而是介于A与B之间的任一值,则在开区间内至少有一点,使得推论(1):在闭区间上连续函数必能取得介于最大值与最小值之间的任何值 推论(2):设函数在闭区间上连续,且(两端点的函数值异号),则在的内部,至少存在一点,使导数与微分导数: 定义:导数的几何定义:函数在图形上表示为切线的斜率函数可导性与连续性之间的表示: 如果函数在x处可导,则在点x处连续,也即函数在点x处连续 一个数在某一点连续,它却不一定在该点可导据导数的定义求导: (1) (2) (3)基本初等函数的导数公式: (1)常数导数为零 (2)幂函数的导数公式 (3)三角函数的导数公式(4)对数函数的导数公式: (5)指数函数的导数公式: (6) (7)反三角函数的导数公式: 函数和、差、积、商的求导法则: 法则一(具体内容见书106) 函数乘积的求导法则: 法则二(具体内容见书108) 函数商的求导法则: 法