文档介绍：:..矩阵多项式一、矩阵多项式的定义和性质1•定义设f(x)=aoxfi+①兀心+A+5■卫+〜是X的n次多项式,A是方阵,E是与A同阶的单位阵,则称/(A)=+d/"1+A+6ZZ?_|A+ci^E为由多项式fM="N"+ +A+""-M+-形成的矩阵A的多项式。记作/(A)。(刃是复数域上的多项式,⑴若B=T~}AT,贝如(B)=厂|p(A)T(2)若A=diag(人,%…,4),则P(A)=diag(p(£),卩他),…,p(&))(3)若Ax=加,贝!Jp(A)x=p(A)xBP:若入为矩阵A的特征值,则。(久)为"(A)的特征值。3•化零多项式设P(z)是复数域上的多项式,A是n阶矩阵,如果P⑷二0,则称P(z)-Cayley定理设A是n阶矩阵,f(A)是A的特征多项式,则f(A)=,称A的首项系数为1,次数最小的化零多项式为A的最小多项式。例:主对角元为入o的n阶Jordan块J的最小多项式为P(入)=(入-入o)「’主对角元为入。的n阶Jordan形J二diag(JbJ2,…,入)的最小多项式为P(X)=(X-Xo)*其中k是J的Jordan块Ji的最大阶数。(1)矩阵A的任意化零多项式能被A的最小多项式整除。(2)相似矩阵有相同的最小多项式。(3)矩阵A的特征多项式与最小多项式有相同的根。证明:(1)设0(刀川(刀分别是矩阵A的最小多项式和化零多项式,由最小多项式的定义可知9()[^)]<9°[/X^)]利用多项式的带余除法知,存在多项式曲),厂⑷使得p⑷=呎2)?(/!)+厂⑷ 9°[r(2)]<3°[</U)]由于妙(A)=O,p(A)=O,则儿4)=0;又妙(久)是矩阵A的最小多项式,而90[r(2)]<3°[^(2)]>因此r(2)=0,即0⑷"⑷矩阵A的任意化零多项式能被A的最小多项式整除。推论(1) 矩阵A的最小多项式是唯一的。(2) 如果矩阵A的特征多项式无重根,则矩阵A的特征多项式与最小多项式相同。,则A的最小多项式(刀是A的最后一个不变因了aS)。由定理1可以得到计算矩阵最小多项式的第一种算法,即通过求矩阵的最后一个不变因子〃"('),得到矩阵的最小多项式。例1:‘-5 14、求A二-1238的最小多项式H15,2+5 -1 -4解:特征多项式九⑷二匪-A|二12 2-3 -8 .各阶行列式因子为分别为6 -1 2-5贝lid](2)=£>i⑷=1,d2(几)==2-1, ⑷==(2-1)1仃0 0 、于是办⑷二花-人等价于0A-1 0 .由于AE-A的不变因子即为A的不变因子.〔00(1-1)2J从而由定理1知,fAW=^-A的最后一个不变因子4一1)2就是A的最小多项式。即%(2)=(兄-I)'o由于A是复数域C上的n阶方阵,所以A的特征值都属于C,从而A在复数域C上相似于若当形矩阵八為g仏⑷,丿2(入),…,人(人)严。所以方法一具有普遍适用性。定理2设A是n阶复数矩阵,则将A的特征多项式办(久)标准分解式中含有(2-入).