文档介绍：柯西—黎曼方程
张宏浩
2017/7/12
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可导:对任何方向的,极限都存在并唯一。
x
y
z
复数
复变函数f(z):z沿任一曲线逼近零。
柯西—黎曼方程(复变函数可导必要条件)
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实数
实变数f(x): x沿实轴逼近零。
因此,复函数的可导性是比实函数的可导性条件强得多。
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z沿实轴→0, y0
设f(z)z分别沿平行于实轴( y0)和平行于虚轴( x0)趋于零的特殊情况:
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柯西—黎曼方程
或C-R条件
由于f(z)在z点可导,要求沿不同方向的极限相等
可导必要条件
z沿虚轴→, x0
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可导的充分条件是: f(z)=u+iv的u,v偏导数存在,连续且满足柯西—黎曼方程。
证:
由于偏导数连续,则二元函数u 和v 的增量可分别写为
随着
则
复变函数可导的充分条件:
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柯西—黎曼方程
这一极限是与
的方式无关的有限值
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解析函数的概念
若函数f(z)在点z0的某邻域内处处可导,则称函数f(z)在点z0处解析;又若f(z)在区域B内的每一点解析,则称f(z)在区域B内是解析函数
说明:

函数在某点解析,则必在该点可导;反之不然
但是在区域B内解析的函数则解析与可导等价.
解析函数
例:函数
只在z=0点可导,因而在复平面上处处不解析
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2. 称函数的不解析点为奇点
f(z)在点z0 无定义或无确定值;
f(z)在点z0 不连续;
f(z)在点z0 不可导;
f(z)在点z0 可导,但找不到在其内处处可导的邻域
3. 解析函数的充分必要条件
设函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 在区域B内解析当且仅当:
(1)实部和虚部在B内可导;
(2)实部和虚部在B内每一点满足柯西—