文档介绍：抽象函数专题讲座
郑严
抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式,只是给出一些特殊条件的函数。
,求的定义域
其解法是:若的定义域为,则在中,,从中解得的取值范围即为的定义域.
,求的定义域.
解:的定义域为,,.
故函数的定义域为.
2、已知的定义域,求的定义域
其解法是:若的定义域为,则由确定的的范围即为的定义域.
例2 已知函数的定义域为,求函数的定义域.
解:由,得.
令,则,.
故的定义域为.
换元法.
例3. 已知f(1+ x2)=2+ x2+x4, 求f(x)
解:令t=1+ x2
原式即为:
:如果抽象函数的类型是确定的,可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。
(x)是多项式函数,且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求f(x).
解:由已知得f(x)是二次多项式,设f(x)=ax2+bx+c (a≠0)
代入比较系数得过且过:a=1,b= -2,c= -1,f(x)=x2-2x-1.
:有些抽象函数的性质是用条件恒等式给出的,可通过赋特殊值法使问题得以解决。
,y,均满足f(x+y2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0,则f(2001)=_______.
解:令x=y=0,得:f(0)=0,令x=0,y=1,得f(0+12)=f(0)+2f[(1)]2,
三、抽象函数的模型构造
1、线性函数型抽象函数
f(x)=kx(k≠0)---------------f(x±y)=f(x)±f(y)
例6、已知函数对任意实数x,y,均有,且当时,,,求在区间[-2,1]上的值域。
解:设,则,∵当时,,∴,
∵,
∴,即,∴为增函数
在条件中,令y=-x,则,再令x=y=0,则,
∴,故,为奇函数,
∴,又,
∴的值域为[-4,2]。
2、指数函数型的抽象函数
f(x)=ax------------- f(x+y)=f(x)f(y);f(x-y)=
:对任意实数,总有,且当时,.
(1)试求的值;
(2)判断的单调性并证明你的结论;
(3)试举出一个满足条件的函数.
解:(1)在中,
:.
因为,所以,.
(2)要判断的单调性,可任取,且设.
在已知条件中,若取,则已知条件可化为:.
由于,所以.
为比较的大小,只需考虑的正负即可.
在中,令,,则得.
∵时,,
∴当时,.
又,所以,综上,可知,对于任意,均有.
∴.
∴函数在R上单调递减.
(3)如.
3、对数函数型的抽象函数
f(x)=logax(a>0且a≠1)-----f(x·y)=f(x)+f(y);f()= f(x)-f(y)
例8、已知函数满足定义域在上的函数,对于任意的,都有,当且仅当时,成立,
(1)设,求证;
(2)设,若,试比较与的大小;
(3)解关于的不等式
证明:(1)∵,∴,
∴
(2)∵,∴,
即
∵当且仅当时,成立,∴当时,,∴,
(3)令代入得,,
∴关于的不等式为,由(2)可知函数在定义域上是减函数,∴,由得,当时,,此时成立