文档介绍：函数的对称性与周期性
一函数的对称性
(一)函数图象的自对称
所谓函数图象的自对称是指一个函数图象的对称(中心对称或轴对称)图象是其本身.
关于函数图象的自对称,有下列性质:
1、奇函数的图象关于对称,偶函数的图象关于对称,反之亦然。
2、二次函数的图象关于直线对称。
3、三角函数的图象关于直线对称,它也有对称中心是;
的图象的对称轴是,对称中心是。
4、函数若对于定义域内任意一个都有,则其图象关于直线对称。
5、函数若对于定义域内任意一个都有,则其图象关于点对称。
6、曲线关于直线与(<)对称,则是周期函数且周期为
(二)函数图象的互对称
所谓函数图象的互对称是指两个函数图象的上的点一一对应,且对应点相互对称(中心对称或轴对称)。
关于函数图象的互对称,有下列性质:
1、互为反函数的两个函数的图象关于直线对称;反之, 。
2、函数与函数的图象关于直线对称。
3、函数与函数的图象关于直线对称。
4、函数与函数的图象关于点对称。
二函数的周期性
如果函数y=f(x)对于定义域内任意的x,存在一个不等于0的常数T,使得f(x+T)=f(x)恒成立,则称函数f(x)是周期函数,T是它的一个周期.
一般情况下,如果T是函数f(x)的周期,则kT(k∈N+)也是f(x)的周期.
关于函数的周期性的结论:
1、已知函数对任意实数,都有,则是以为周期的函数;
2、已知函数对任意实数,都有=,则
是以为周期的函数;
3、已知函数对任意实数,都有=-,则是以为周期的函数.
4、已知函数对任意实数,都有,则是以为周期的函数
5、已知函数对任意实数,都有f(x+m)=f(x-m),则是的一个周期.
6、已知函数对任意实数,都有f(x+m)=,则是f(x)的一个周期.
7、已知函数对任意实数,都有f(x+m)=-,求证:4m是f(x)的一个周期.
证明:由已知f(x+2m)=f[(x+m)+m]
于是f(x+4m)=-=f(x)
所以f(x)是以4m为周期的周期函数.
8、已知函数f(x)对任意实数x,都有f(a+x)=f(a-x)且f(b+x)=f(b-x),
求证:2|a-b|是f(x)的一个周期.(a≠b)
证明:不妨设a>b
于是f(x+2(a-b))=f(a+(x+a-2b)) =f(a-(x+a-2b))=f(2b-x)=f(b-(x-b)) =f(b+(x-b))=f(x)
∴ 2(a-b)是f(x)的一个周期
当a<b时同理可得
所以,2|a-b|是f(x)的周期
例题应用
1、已知是偶函数,则函数的图象的对称轴是( )
A. B. C . D.
2、函数在区间上是减函数,那么实数的取值范围是( )
A . B. C. D.
3、函数的图象的一条对称轴方程是( )
A. B. C. D.
4、如果函数f(x)=x2+bx+c对任意实数t都有f(2+t)=f(2-t),那么
(2)<f(1)<f(4) (1)<f(2)<f(4)
(2)<f(4)<f(1) (4)<f(2)<f(1)
5、函数的图象关于直线对称,则的值为( )
A. 1 B. C. D.
6、如果直线与均为曲线的对称轴且则的值为。
7、是定义在R上的偶函数,其图象关于直线对称,且当时,,则当时,= 。
8、如果直线与直线关于直线对称,则= ,= 。
9、设函数定义在实数集上,则函数与的图象关于( )
A. 直线对称 C. 直线对称
已知函数f(x)的定义域为N,且对任意正整数x,都有f(x)=f(x-1)+f(x+1)
若f(0)=2004,求f(2
004)
解:因为f(x)=f(x-1)+f(x+1) 所以f(x+1)=f(x)+f(x+2) 两式相加得0=
f(x-1)+f(x+2)
即:f(x+3)=-f(x)
∴ f(x+6)=f(x) f(x)是以6为周期的周期函数 2004=6×334∴ f(2004)=f(0)=2004
已知对于任意a,b∈R,有f(a+b)+f(a-b)=2f(a)f(b),且f(x)≠0
⑴求证:f(x)是偶函数;
⑵若存在正整数m使得f(m)=0,求满足f(x+T)=f(x)的一个T值(T≠0)
⑴证明:令a=b=0得,f(0)=1(f(0)=0舍去)
又令a=0,得f(b)=f(-b),即f(x)=f(-x)
所以,f(x)为偶函数
⑵令a=x+m,b=m 得f(x+2m)+f(x)=2f(x+m)f(m)=0
所以f(x+2m)=-f(x)于是f(x+4m)=f[(x+2m)+2m] =-f(x+2m) =f(x)