文档介绍：第21章曲线积分和曲面积分的计算
教学目的:
教学重点和难点:
§1 第一类曲线积分的计算
设函数在光滑曲线上有定义且连续,的方程为
则。
特别地,如果曲线为一条光滑的平面曲线,它的方程为,,那么有
。
例:设是半圆周, 。求。
例:设是曲线上从点到点的一段,计算第一类曲线积分。
例:计算积分,其中是球面被平面截得的圆周。
例:求,此处为连接三点,,的直线段。
§2 第一类曲面积分的计算

一曲面的面积
(1)设有一曲面块,它的方程为。具有对和的连续偏导数,即此曲面是光滑的,且其在平面上的投影为可求面积的。则该曲面块的面积为。
(2)若曲面的方程为, 令,,,
则该曲面块的面积为。
例:求球面含在柱面内部的面积。
例:求球面含在柱面内部的面积。
二化第一类曲面积分为二重积分
(1)设函数为定义在曲面上的连续函数。曲面的方程为。具有对和的连续偏导数,即此曲面是光滑的,且其在平面上的投影为可求面积的。则
。
(2)设函数为定义在曲面上的连续函数。若曲面的方程为
令,,,
则。
例:计算,是球面,。
例:计算,其中为螺旋面的一部分: 。
注:第一类曲面积分通过一个二重积分来定义,这就是为什么在第一类曲面积分中用“二重积分符“的原因。
例:I=,是球面,球心在原点,半径为。

§3 第二类曲线积分
一变力做功和第二类曲线积分的定义
。先用微元法,再用定义积分的方法讨论这一问题,得。
2. 第二型曲线积分的定义
定义1 设是一条光滑或逐段光滑曲线,且设是定义在上的有界函数,将沿确定方向从起点开始用分点分成个有向弧段,直至终点。且设。在每一弧段上任取一点,作和式: 。
其中为起点,为终点。设,这里表示有向线段的长度。若当时,和有极限,且它与的分法无关,也与点的选择无关,则称为沿曲线按所述方向的第二类曲线积分,记作或。
注:如果向量,则向量沿曲线按一定方向的第二类曲线积分为。
注:第二类曲线积分是与沿曲线的方向有关的。这是第二类曲线积分的一个很重要性质,也是它区别于第一类曲线积分的一个特征。
注:在平面情况下,若一人立在平面上沿闭路循一方向作环行时,如闭路所围成的区域靠近这人的部分总在他的左方,则这个方向就算作正向,否则就算作负向。这时只要方向不变,曲线积分的值是与起点的位置无关的。
二第二类曲线积分的计算
设曲线自身不相交,其参数方程为: 。且设是光滑的。设当参数从调地增加到时,曲线从点按一定方向连续地变到点。设函数定义在曲线上,且设它在上连续。则。(*)
注:(*)积分下限必须对应积分所沿曲线的起点,上限必须对应终点。
注:如果向量,则向量沿曲线按一定方向的第二类曲线积分为
例:计算积分, L的两个端点为A( 1, 1 ) , B( 2 , 3 ). 积分从点A到点B或闭合, 路径为
(1)直线段AB ; (2)抛物线;
(3)折线闭合路径A( 1, 1 )D( 2 , 1 ) B( 2 , 3 ) A( 1, 1 )。.
例:计算积分, 这里L :
(1)沿抛物线从点O( 0 , 0 )到点B( 1 , 2 );
(2)沿直线从点O( 0 , 0 )到点B( 1 , 2 );
(3)沿折线封闭路径O(0,0) A