文档介绍：高中数学挑战高分极限(上篇解答题)
第1章:函数(第1节:函数的性质)
函数综合题通常是指函数的定义域、对应法则(可以是解析式、也可以是图像或表格)、单调性、奇偶性、周期性等内容的综合考查。涉及到的具体函数主要有正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数以及它们的和函数与积函数等。应用问题也常以函数内容出现。
在这部分,起到压轴作用的试题往往都涉及不等式等知识。近几年以三角函数为载体考查函数、不等式性质以及求最值的考题时有出现。
【例1】(2010·上海)若实数x、y、m满足|x-m|>|y-m|,则称x比y远离m。
(Ⅰ)若x2-1比1远离0,求x的取值范围;
(Ⅱ)对任意两个不相等的正数a、b,证明:a3+b3比a2b+ab2远离2ab;
(Ⅲ)已知函数f(x)的定义域D={x|x≠+,k∈Z,x∈R}。任取x∈D,f(x)等于sinx和cosx中远离0的那个值。写出函数f(x)的解析式,并指出它的基本性质(结论不要求证明)。
·
·
·
x
m
y
【分析与解】条件“|x-m|>|y-m|,则称x比y远离m”的几何意义就是数轴上x对应的点比y对应的点离m对应的点远(如图)。于是
(Ⅰ)若x2-1比1远离0Û|x2-1|>1,于是
解得x>,或x<-,故所求x的取值范围为(-∞,-)∪(,+∞)。
(Ⅱ)因为a、b是任意两个不相等的正数,所以a3+b3比a2b+ab2远离2abÛ|a3+b3-2ab|>|a2b+ab2-2ab|……………………………………………………………①
由a、b是两个不相等的正数,得
a3+b3>a2b+ab2且a2b+ab2>2ab,从而①Ûa3+b3-2ab>a2b+ab2-2ab,即a3+b3>a2b+ab2,又
a3+b3-(a2b+ab2)= (a-b)2(a+b)>0,所以
不等式|a3+b3-2ab|>|a2b+ab2-2ab|成立,故a3+b3比a2b+ab2远离2ab。
(Ⅲ)函数“f(x)等于sinx和cosx中远离0的那个值”Û“ f(x)等于|sinx|和|cosx|中的最大值”。于是根据三角函数线(或三角函数的图像,如图)可知,
当x∈(kπ+,kπ+)(k∈Z)时,|sinx|>|cosx|;
当x∈(kπ-,kπ+)(k∈Z)时,| cosx|>| sinx|,于是
函数f(x)的解析式为f(x)=。于是作出函数y=f(x)的图像如下:
从图像可以看出函数的基本性质有:
(1)函数y=f(x)为的值域为,1;
(2)函数y=f(x)为非奇非偶函数;
(3)函数y=f(x)的最小正周期为T=2π;
(4)当x=2kπ或x=2kπ+(k∈Z)时,f(x)取得最大值1;当x=2kπ+π或x=2kπ-(k∈Z)时,f(x)取得最大值-1;
(5)函数y=f(x)的单调递增区间为(2kπ-,2kπ-),2kπ-,2kπ,2kπ+,2kπ+,2kπ+π,2kπ+(k∈Z);
函数y=f(x)的单调递减区间为2kπ,2kπ+,2kπ+,2kπ+,2kπ+,2kπ+π,2kπ+,2kπ+(k∈Z)。
【解题反思】1:条件“x比y远离m”是题目中的临时定义(又称自定义),针对“|x-m|>|y-m|”画图有助于深刻理解题意,这是解决问题的前提。
2:第(Ⅲ)问的解答过程中,数形结合思想一直伴随其间:从写出函数y=f(x)的解析式到写出函数的性质,一旦画出图像,以下就是书写工夫,一定要注意数形结合思想的灵活运用。
3:函数的性质一般指:定义域、值域(最值)、奇偶性、单调性、周期性。
【发散训练】
1:在原题设条件下,解答:已知函数y=f(x)的定义域D={x|x≠kπ,k∈Z,x∈R}。任取x∈D,f(x)等于1+sinx和1-sinx中接近0的那个值。写出函数f(x)的解析式,并指出它的奇偶性、最小正周期和单调性(结论不要求证明)。
解:由题知,函数f(x)的解析式为f(x)=(k∈Z)。
于是作出函数y=f(x)的图像如下:
从而观察函数y=f(x)图像,看出函数的基本性质有:
(1)函数y=f(x)是周期函数,且最小正周期为T=π;
(2)当x=kπ+(k∈Z)时,f(x)取得最小值0;无最大值;
(3)函数y=f(x)的单调递增区间为kπ-,kπ;单调递减区间为kπ,kπ+。
【例2】(2009·上海春)设函数fn(θ)=sinnθ+(-1)ncosnθ,0≤θ≤,其中n为正整数。
(Ⅰ)判断函数f1(θ)、f3(θ)的单调性,并就f1(θ)的情形证明你的结论;
(Ⅱ)证明:2f6(θ)-f4(θ)=(cos4θ-sin4θ)(cos2θ-sin2θ);