文档介绍：1、行列式
行列式共有个元素,展开后有项,可分解为行列式;
代数余子式的性质:
①、和的大小无关;
②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0;
③、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为;
代数余子式和余子式的关系:
设行列式:
将上、下翻转或左右翻转,所得行列式为,则;
将顺时针或逆时针旋转,所得行列式为,则;
将主对角线翻转后(转置),所得行列式为,则;
将主副角线翻转后,所得行列式为,则;
行列式的重要公式:
①、主对角行列式:主对角元素的乘积;
②、副对角行列式:副对角元素的乘积;
③、上、下三角行列式():主对角元素的乘积;
④、和:副对角元素的乘积;
⑤、拉普拉斯展开式:、
⑥、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积;
⑦、特征值;
对于阶行列式,恒有:,其中为阶主子式;
证明的方法:
①、;
②、反证法;
③、构造齐次方程组,证明其有非零解;
④、利用秩,证明;
⑤、证明0是其特征值;
2、矩阵
是阶可逆矩阵:
(是非奇异矩阵);
(是满秩矩阵)
的行(列)向量组线性无关;
齐次方程组有非零解;
,总有唯一解;
与等价;
可表示成若干个初等矩阵的乘积;
的特征值全不为0;
是正定矩阵;
的行(列)向量组是的一组基;
是中某两组基的过渡矩阵;
对于阶矩阵: 无条件恒成立;
矩阵是表格,推导符号为波浪号或箭头;行列式是数值,可求代数和;
关于分块矩阵的重要结论,其中均、可逆:
若,则:
Ⅰ、;
Ⅱ、;
②、;(主对角分块)
③、;(副对角分块)
④、;(拉普拉斯)
⑤、;(拉普拉斯)
3、矩阵的初等变换与线性方程组
一个矩阵,总可经过初等变换化为标准形,其标准形是唯一确定的:;
等价类:所有与等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类;标准形为其形状最简单的矩阵;
对于同型矩阵、,若;
行最简形矩阵:
①、只能通过初等行变换获得;
②、每行首个非0元素必须为1;
③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0;
初等行变换的应用:(初等列变换类似,或转置后采用初等行变换)
若,则可逆,且;
②、对矩阵做初等行变化,当变为时,就变成,即:;
③、求解线形方程组:对于个未知数个方程,如果,则可逆,且;
初等矩阵和对角矩阵的概念:
①、初等矩阵是行变换还是列变换,由其位置决定:左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵;
②、,左乘矩阵,乘的各行元素;右乘,乘的各列元素;
③、对调两行或两列,符号,且,例如:;
④、倍乘某行或某列,符号,且,例如:;
⑤、倍加某行或某列,符号,且,如:;
矩阵秩的基本性质:
①、;
②、;
③、若,则;
④、若、可逆,则;(可逆矩阵不影响矩阵的秩)
⑤、;(※)
⑥、;(※)
⑦、;(※)
⑧、如果是矩阵,是矩阵,且,则:(※)
Ⅰ、的列向量全部是齐次方程组解(转置运算后的结论);
Ⅱ、
⑨、若、均为阶方阵,则;
三种特殊矩阵的方幂:
①、秩为1的矩阵:一定可以分解为列矩阵(向量)行矩阵(向量)的形式,再采用结合律;
②、型如的矩阵:利用二项展开式;
二项展开式:;
注:Ⅰ、展开后有项;
Ⅱ、
Ⅲ、组合的性质:;
③、利