文档介绍：注:本篇可看作《高等数学难点总结及习题解读》的姊妹篇呵呵
再次强调下,本人所做的习题解读分别针对:同济五版《线代》同济五版《高数》
浙大版的《概率》等有时间再写
首先是知识框架:
线性代数知识点框架(一)
线性代数的学习切入点:线性方程组。换言之,可以把线性代数看作是在研究线性方程组这一对象的过程中建立起来的学科。
线性方程组的特点:方程是未知数的一次齐次式,方程组的数目s和未知数的个数n可以相同,也可以不同。
关于线性方程组的解,有三个问题值得讨论:(1)、方程组是否有解,即解的存在性问题;(2)、方程组如何求解,有多少个解;(3)、方程组有不止一个解时,这些不同的解之间有无内在联系,即解的结构问题。
高斯消元法,最基础和最直接的求解线性方程组的方法,其中涉及到三种对方程的同解变换:(1)、把某个方程的k倍加到另外一个方程上去;(2)、交换某两个方程的位置;(3)、用某个常数k乘以某个方程。我们把这三种变换统称为线性方程组的初等变换。
任意的线性方程组都可以通过初等变换化为阶梯形方程组。
由具体例子可看出,化为阶梯形方程组后,就可以依次解出每个未知数的值,从而求得方程组的解。
对方程组的解起决定性作用的是未知数的系数及其相对位置,所以可以把方程组的所有系数及常数项按原来的位置提取出来,形成一张表,通过研究这张表,就可以判断解的情况。我们把这样一张由若干个数按某种方式构成的表称为矩阵。
可以用矩阵的形式来表示一个线性方程组,这至少在书写和表达上都更加简洁。
系数矩阵和增广矩阵。
高斯消元法中对线性方程组的初等变换,就对应的是矩阵的初等行变换。阶梯形方程组,对应的是阶梯形矩阵。换言之,任意的线性方程组,都可以通过对其增广矩阵做初等行变换化为阶梯形矩阵,求得解。
阶梯形矩阵的特点:左下方的元素全为零,每一行的第一个不为零的元素称为该行的主元。
对不同的线性方程组的具体求解结果进行归纳总结(有唯一解、无解、有无穷多解),再经过严格证明,可得到关于线性方程组解的判别定理:首先是通过初等变换将方程组化为阶梯形,若得到的阶梯形方程组中出现0=d这一项,则方程组无解,若未出现0=d一项,则方程组有解;在方程组有解的情况下,若阶梯形的非零行数目r等于未知量数目n,方程组有唯一解,若r<n,则方程组有无穷多解。
在利用初等变换得到阶梯型后,还可进一步得到最简形,使用最简形,最简形的特点是主元上方的元素也全为零,这对于求解未知量的值更加方便,但代价是之前需要经过更多的初等变换。在求解过程中,选择阶梯形还是最简形,取决于个人习惯。
常数项全为零的线性方程称为齐次方程组,齐次方程组必有零解。
齐次方程组的方程组个数若小于未知量个数,则方程组一定有非零解。
利用高斯消元法和解的判别定理,以及能够回答前述的基本问题(1)解的存在性问题和(2)如何求解的问题,这是以线性方程组为出发点建立起来的最基本理论。
对于n个方程n个未知数的特殊情形,我们发现可以利用系数的某种组合来表示其解,这种按特定规则表示的系数组合称为一个线性方程组(或矩阵)的行列式。行列式的特点:有n!项,每项的符号由角标排列的逆序数决定,是一个数。
通过对行列式进行研究,得到了行列式具有的一些性质(如交换某两行其值反号、有两行对应成比例其值为零、可按行展开等等),这些性质都有助于我们更方便的计算行列式。
用系数行列式可以判断n个方程的n元线性方程组的解的情况,这就是克莱姆法则。
总而言之,可把行列式看作是为了研究方程数目与未知量数目相等的特殊情形时引出的一部分内容。
线性代数知识点框架(二)
在利用高斯消元法求解线性方程组的过程中,涉及到一种重要的运算,即把某一行的倍数加到另一行上,也就是说,为了研究从线性方程组的系数和常数项判断它有没有解,有多少解的问题,需要定义这样的运算,这提示我们可以把问题转为直接研究这种对n元有序数组的数量乘法和加法运算。
数域上的n元有序数组称为n维向量。设向量a=(a1,a2,...,an),称ai是a的第i个分量。
n元有序数组写成一行,称为行向量,同时它也可以写为一列,称为列向量。要注意的是,行向量和列向量没有本质区别,只是元素的写法不同。
矩阵与向量通过行向量组和列向量组相联系。
对给定的向量组,可以定义它的一个线性组合。线性表出定义的是一个向量和另外一组向量之间的相互关系。
利用矩阵的列向量组,我们可以把一个线性方程组有没有解的问题转化为一个向量能否由另外一组向量线性表出的问题。同时要注意这个结论的双向作用。
从简单例子(如几何空间中的三个向量)可以看到,如果一个向量a1能由另外两个向量a2、a3线性表出,则这三个向量共面,反之则不共面。为了研究向量个数更多时的类似情况,我们把上述两种对向量