文档介绍：----高等数学----第一章函数、极限、连续函数是微积分的研究对象,极限是微积分的理论基础,而连续性是可导性与可积性的重要条件。它们是每年必考的内容之一。第一节数列极限与函数极限【大纲内容】数列极限与函数极限的定义以及它们的性质;函数的左极限与右极限;无穷小和无穷的概念及其关系;无穷小的性质及无穷小的比较;极限的四则运算;极限存在的两个准则;单调有界准则和夹逼准则;洛必达法则;两个重要极限: 。【大纲要求】理解极限的概念,理解函数左极限与右极限的概念,以及极限存在与左、右极限之间的关系;掌握极限的性质及四则运算法则;掌握极限存在的两个准则,并会利用它们求极限;掌握利用两个重要极限求极限的方法;理解无穷小、无穷大的概念,掌握无穷小的比较方法,会用等价无穷小求极限;掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。【考点分析】数列极限的考点主要包括:定义的理解,极限运算法则的理解,单调有界准则和夹逼准则求极限,利用定积分的定义求和式的极限等等。函数极限的考点主要包括:用洛必达法则求未定式的极限,由已知极限求未知极限,极限中的参数问题,无穷小量阶的比较等等。一、数列的极限 :称为数列,记为数列,其中称为数列的一般项或通项。设有数列和常数A。若对任意给定的,总存在自然数,当n>N时,恒有,则称常数A为数列的极限,或称数列收敛于A,记为或。没有极限的数列称为发散数列。收敛数列必为有界数列,其极限存在且唯一。 (1)定理(夹逼定理)设在的某空心邻域内恒有,且有,则极限存在,,有类似结论. (2)定理:单调有界数列必有极限. :(1)若,则,其中为任意常数。(2)。(3)。【考点一】(1)单调有界数列必有极限. (2)单调递增且有上界的数列必有极限,单调递增且无上界的数列的极限为+∞. (3)单调递减且有下界的数列必有极限,单调递减且无下界的数列的极限为-∞.【评注】(1)在应用【考点一】进行证明时,有些题目中关于单调性与有界性的证明有先后次序之分,需要及时进行调整证明次序。(2)判定数列的单调性主要有三种方法: Ⅰ,则单调递增;若,则单调递减。Ⅱ当时,,则单调递增;若,则单调递减。Ⅲ令,将n改为x,得到函数。若可导,则当时,单调递增;当时,单调递减。【例1·证明题】设数列满足证明数列的极限存在并求极限.【例2·证明题】设f(x)是区间上单调减少且非负的连续函数, ,证明数列的极限存在。【考点二】(夹逼准则)设有正整数,当时,,且,则.【评注】在使用夹逼准则时,需要对通项进行“缩小”和“放大”,要注意:“缩小”应该是尽可能地大,而“放大”应该是尽可能地小,在这种情况下,如果仍然“夹”不住,那么就说明夹逼准则不适用于这个题目,要改用其他方法。【例3·计算题】计算极限:【考点三】用定积分的定义计算和式的极限:由定积分的定义知,当连续时,有, 【例4·计算题】求下列极限:【例5·选择题】等于( ) 【考点四】设,则。也就是说,将数列中的正整数改为连续变量,令,则数列的极限等于相应的函数的极限,即综合题也很重要。【例6·解答题】设在x=0某邻域内可导,.【例7·选择题】设,则极限等于( ) 【例8·证明题】设, 证明:(1)对于任何自然数n,方程在区间中仅有一根。(2)设二、函数的极限【考点五】也就是说,函数极限存在且等于A的充分必要条件是,左极限与右极限都存在,并且都等于A。①②【评注】在求极限时,如果函数中包含或项,则立即讨论左右极限和,再根据【考点五】判断双侧极限是否存在。【例9·解答题】确定常数a的值,使极限存在。【考点六】使用洛必达法则求型未定式的极限之前,要将所求极限尽可能地化简。化简的主要方法: (1)首先用等价无穷小进行代换。注意:等价无穷小代换只能在极限的乘除运算中使用,而不能在极限的加减运算中使用,但在极限的加减运算中高阶无穷小可以略去; (2)将极限值不为零的因子先求极限; (3)利用变量代换(通常是作倒代换,令) (4)恒等变形:通过因式分解或根式有理化消去零因子,将分式函数拆项、合并或通分达到化简的目的。(5)常见的等价无穷小代换: 当X→0时,我们有: 当时常用的等价无穷小1);2);3);4),,,5)6)7)未定式极限: ,,∞-∞,0×∞, 1∞,00,∞0【例10·解答题】求极限.【例11·解答题】求极限【例12·解答题】设函数f(x)在x=0处可微,又设,函数, 求极限【考点七】求型未定式极限的方法: (1)分子、分母同时除以最大的无穷大(2)使用洛必达法则【例13·解答题】求极限.【考点八】化和型未定式为型和型的方法是: ∞-∞型:(1)通分法(2)根式有理化法(3)变量代换法 0×∞型:0