文档介绍：第七章解三角形
一、基础知识
在本章中约定用A,B,C分别表示△ABC的三个内角,a, b, c分别表示它们所对的各边长,为半周长。
:=2R(R为△ABC外接圆半径)。
推论1:△ABC的面积为S△ABC=
推论2:在△ABC中,osB=a.
推论3:在△ABC中,A+B=,解a满足,则a=A.
正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到,这里不再给出,下证推论。先证推论1,由正弦函数定义,BC边上的高为bsinC,所以S△ABC=;再证推论2,因为B+C=-A,所以sin(B+C)=sinA,即sinBcosC+cosBsinC=sinA,osB=a;再证推论3,由正弦定理,所以,即sinasin(-A)=sin(-a)sinA,等价于[cos(-A+a)-cos(-A-a)]= [cos(-a+A)-cos(-a-A)],等价于cos(-A+a)=cos(-a+A),因为0<-A+a,-a+A<. 所以只有-A+a=-a+A,所以a=A,得证。
:a2=b2+c2-osA,下面用余弦定理证明几个常用的结论。
(1)斯特瓦特定理:在△ABC中,D是BC边上任意一点,BD=p,DC=q,则AD2= (1)
【证明】因为c2=AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos,
所以c2=AD2+p2-2AD·pcos ①
同理b2=AD2+q2-2AD·qcos, ②
因为ADB+ADC=,
所以cosADB+cosADC=0,
所以q×①+p×②得
qc2+pb2=(p+q)AD2+pq(p+q),即AD2=
注:在(1)式中,若p=q,则为中线长公式
(2)海伦公式:因为b2c2sin2A=b2c2 (1-cos2A)= b2c2 [(b+c)-a2][a2-(b-c) 2]=p(p-a)(p-b)(p-c).
这里
所以S△ABC=
二、方法与例题
。
例1 (共线关系的张角公式)如图所示,从O点发出的三条射线满足,另外OP,OQ,OR的长分别为u, w, v,这里α,β,α+β∈(0, ),则P,Q,R的共线的充要条件是
【证明】P,Q,R共线
(α+β)=uwsinα+vwsinβ
,得证。
。
例2 如图所示,△ABC内有一点P,使得BPC-BAC=CPA-CBA=APB-ACB。
求证:AP·BC=BP·CA=CP·AB。
【证明】过点P作PDBC,PEAC,PFAB,垂足分别为D,E,F,则P,D,C,E;P,E,A,F;P,D,B,F三组四点共圆,所以EDF=PDE+PDF=PCA+PBA=BPC-BAC。由题设及BPC+CPA+APB=3600可得BAC+CBA+ACB=1800。
所以BPC-BAC=CPA-CBA=APB-ACB=600。
所以EDF=600,同理DEF=600,所以△DEF是正三角形。
所以DE=EF=DF,由正弦定理,CDsinACB=APsinBAC=BPsinABC,两边同时乘以△ABC的外接圆直径2R,得CP·BA=AP·BC=BP·AC,得证:
例3 如图所示,△ABC的各边分别与两圆⊙O1,⊙O2相切,直线GF与DE交于P,求证:PABC。
【证明】延长PA交GD于M,
因为O1GBC,O2DBC,所以只需证
由正弦定理,
所以
另一方面,,
所以,
所以,所以PA//O1G,
即PABC,得证。
:在△ABC中,记点A,B,C到内切圆的切线长分别为x, y, z,则a=y+z, b=z+x, c=x+y.
例4 在△ABC中,求证:a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c) ≤3abc.
【证明】令a=y+z, b=z+x, c=x+y,则
abc=(x+y)(y+z)(z+x)
=8xyz=(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)
=a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)-2abc.
所以a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c) ≤3abc.
。
例5 设a, b, c∈R+,且abc+a+c=b,试求的最大值。
【解】由题设,令a=tanα, c=tanγ, b=tanβ,
则tanβ=tan(α+γ), P=2sinγsin(2α+γ)+3cos2γ≤,
当且仅当α+β=,sinγ=,即a=时,Pmax=
例6 在△ABC中,若a+b+c=1,求证: a2+b2+c2+4abc<
【证明】设a=sin2αcos2β, b=cos2αcos2β, c=sin2β, β.
因为a, b, c为三边长,所以c<, c>|a-b|,
从