文档介绍：2010年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题:1~8小题,每小题4分,满分32分,每个小题所给四个选项中只有一个符合题目要求,把所选选项前的字母填在题后的括号内(1)极限等于()1;;;.解题步骤:因为,所以选。(2)设函数由方程确定,其中为可微函数,且,则等于();;;().解题步骤:,解得;,解得,所以选.(3)设为正整数,则反常积分的收敛性()仅与有关;仅与有关;与都有关;:显然反常积分有两个瑕点与,=+,显然的收敛性与有关,当时收敛,当时发散;的收敛性与有关,所以此题选.(4)等于();;;.解题步骤:=,因为,,所以==,所以此题选。(5)设是矩阵,是矩阵,且,其中为阶单位矩阵,则;;;.解题步骤:,因为且,所以,又显然,故,所以此题选。(6)设是4阶实对称矩阵,且,若,则相似于;;;.解题步骤:令则,因为,即,所以,从而,注意到是非零变量,所以的特征值为0和-1,又因为为可对角化的矩阵,所以的秩与的非零特征值个数一致,所以的特征值为-1,-1,-1,0,于是,所以此题选。(7)设随机变量的分布函数为,则等于0;;;.解题步骤:,所以本题选。(8)设为标准正态分布的概率密度函数,为[-1,3]上均匀分布的概率密度函数,若,则满足;;;.解题步骤:,,因为为概率密度函数,所以,而所以,即,所以此题选。二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.(9)设,:=所以0,所以此题选。(10)=.解题步骤:==(11)已知曲线的方程为,起点为,终点为,则=:=.(12)设,则的形心坐标=.解题步骤:,而,,所以(13)设,,,若由形成的向量组的秩为2,:因为由组成的向量组的秩为2,所以6.(14):由归一性得,即所以C=。即随机变量服从参数为1的泊松分布,于是, 故。三、解答题:15—23小题,、证明过程或演算步骤。(15)(本题满分10分):先求方程的通解由特征方程解得特征根所以方程的通解为再求的特解.;设特解为,则代入原方程,解得,故特解为故方程的通解为.(16)(本题满分10分):所以令,则,又,,;时,;时,;时,.所以的单调递减区间为,单调递增区间为.(17)(本题满分10分)(1)比较与的大小,说明理由;(2)记,:(1)当时,所以,所以,所以(2)所以由,因为=0,根据夹逼定理可得=0,所以=0.(18):令,=则===要使,则,所以时级数收敛;当时,,由莱布尼茨判别法知,此级数收敛,故原级数的收敛域为;=,其中=,而,,所以,故==。(19)设为椭球面上的动点,若在点处的切平面与平面垂直,求点的轨迹,并计算曲线积分,:令的坐标为,由得在点处的平面法向量为,因为在点处的切平面与平面垂直,所以就有,又因为,所以点的轨迹方程为.,将向平面投影,则,两边对求导得,解得;两边对求导得,解得.=于是.(20)设,,已知线性方程组存在两个不同解。(1)求;(2)求的通解。解:(1)已知有两个不同的解,,又,即,,,此时,无解,当时,代入有,得.(2)则原方程组等价为,即,所以,所以的通解为为任意常数。(21)已知二次型在正交变换下的标准型为,且的第三列为.(1)求矩阵;(2)证明为正定矩阵,其中为3阶单位矩阵。解:(1)由于二次型在正交变换下的标准型为,所以的特征值为由于的第三列为,所以对应于的特征向量为因为为实对称矩阵,所以的不同特征值对应的特征向量正交,令对应的特征向量为,由的对应的线性无关的特征向量为