文档介绍：第3章控制系统的能控性和能观测性
在多变量控制系统中,能控性和能观测性是两个反映控制系统构造的基本特性,是现代控制理论中最重要的基本概念。
本章的内容为:
1. 引言——能控性、能观测性的基本概念
2. 能控性及其判据
3. 能观测性及其判据
4. 离散系统的能控性和能观测性
5. 对偶原理
6. 能控标准形和能观测标准形
7. 能控性、能观测性与传递函数的关系
8. 系统的结构分解
9. 实现问题
10. 使用MATLAB判断系统的能控性和能观测性
引言
首先,通过例子介绍能控性、能观测性的基本概念。
例3-1 电路如下图所示。如果选取电容两端的电压为状态变量,即: 。电桥平衡时,不论输入电压如何改变,
不随着的变化而改变,或者说状态变量不受的控制。即:该电路的状态是不能控的。
显然,当电桥不平衡时,该电路的状态是能控的。
例3-2 电路如下图所示,如果选择电容C1、 C2两端的电压为状态变量,即: , ,电路的输出为C2上的电压,即,则电路的系统方程为
如果初始状态为
系统状态转移矩阵为
系统状态方程的解为
可见,不论加入什么样的输入信号,总是有
一般情况下,系统方程可以表示为
(1)
状态能控与否,不仅取决于B 阵(直接关系),还取决于A 阵(间接关系)。
系统状态转移矩阵为
系统能观测问题是研究测量输出变量 y 去确定状态变量的问题。
例3-3 电路如下图所示。选取为输入量, 为输出量,两个电感上的电流分别作为状态变量,则系统方程为
系统状态方程的解为
为了简便起见,令
则
从上式可知,不论初始状态为什么数值,输出仅仅取决于其差值。当,则输出恒等于零。显然,无法通过对输出的观测去确定初始状态,称这样的系统是不能观测的。
对于不能观测的系统,其不能观测的状态分量与y 既无直接关系,又无间接关系。状态是否能观测不仅取决于C,还与A 有关。
一般情况下,系统方程如式(1)所示,状态能观测与否,不仅取决于C 阵(直接关系),还取决于A阵(间接关系)。
能控性及其判据
线性定常系统的能控性及其判据
1. 能控性定义
线性定常系统的状态方程为
(2)
给定系统一个初始状态,如果在的有限时间区间内,存在容许控制,使,则称系统状态在时刻是能控的;如果系统对任意一个初始状态都能控,则称系统是状态完全能控的。
说明:
1) 初始状态是状态空间中的任意非零有限点,控制的目标是状态空间的坐标原点。(如果控制目标不是坐标原点,可以通过坐标平移,使其在新的坐标系下是坐标原点。)
2)如果在有限时间区间内,存在容许控制,使系统从状态空间坐标原点推向预先指定的状态,则称系统是状态能达的;由于连续系统的状态转移矩阵是非奇异的,因此系统的能控性和能达性是等价的。
3)只有整个状态空间中所有的有限点都是能控的,系统才是能控的。
4)满足(3)式的初始状态,必是能控状态。
(3)
5)当系统中存在不依赖于的确定性干扰时, 不会改变系统的能控性。
(4)
2. 能控性判据
定理3-1 (2)式的线性定常系统为状态能控的充分必要条件是下面的n×n维格拉姆矩阵满秩
(5)
(证明参见教材84页)
(这个定理为能控性的一般判据。但是,由于要计算状态转移矩阵,比较繁琐。实际上,常用下面介绍的判据。)
定理3-2 (2)式的线性定常系统为状态能控的充分必要条件是下面的n×nr 维能控性矩阵满秩。
(6)
(7)
证明
应用凯-哈定理,有
上式代入(3)式
(8)