文档介绍：泰山学院信息科学技术学院教案数值分析教研室课程名称高等数学研究授课对象授课题目第十三讲曲线积分与路径无关问题课时数4教学目的通过教学使学生掌握两类曲线积分的来源、定义、性质和计算方法,;。(1)对弧长的曲线积分的模型:(2)积分弧段的方向无关。(3)(1)第二型曲线积分的模型,“补面法”用格林公是求解。:以下条件等价在区域内曲线积分与路径无关的充分;内沿任一闭曲线的积分为零;设开区域是一个单连通域,函数以及在内具有一阶连续偏导数且在内恒成立;、:,其线密度为求弧的质量。,【说明】若,则=,即对弧长的曲线积分与积分弧段有关,但与积分弧段的方向无关。(代入法)设在曲线弧上有定义且连续,的参数方程为,,=特别,当时,表示曲线弧的弧长。当曲线弧的方程为,在上有连续的导数,则=;例1:计算第一型曲线积分(1),其中从(1,1)到(0,0)一段。;(2),其中圆周。二、(代入法)设有一平面力场,其中为连续函数,一质点在此力场的力作用下,由点沿光滑曲线运动到点,求力场的力所作的功。,【评注】设为有向曲线弧,为与方向相反的有向曲线弧,,当参数单调地由变到时,=这里的是曲线的起点所对应的参数值,是曲线的终点所对应的参数值,并不要求。若曲线的方程为对应于的起点,应于的终点,则=;若曲线的方程为对应于的起点,应于的终点,则=。同样,以上并不要求,。公式可推广到空间曲线上对坐标的曲线积分的情形,若空间曲线的参数方程为,则=这里下限为曲线的起点所对应的参数值,上限为曲线的终点所对应的参数值。例2:计算,其中(1)为抛物线上从点到点的一段弧。(2)为从到点的直线段.【解法1】(1)由知不是的单值函数,因此不能运用公式(2),但可运用公式(3),这里,从变到,于是===。【解法2】当把曲线分成与两部分时,在每一部分上都是的单值函数。在上,由变到;在上,,由变到。于是=+=+==(2)直线的方程为,,从到,于是==从这个例子可以看出,对坐标的曲线积分沿不同的路径,:设平面单连通区域D由分段光滑的曲线围成,函数及在上具有一阶连续偏导数,则其中是的正向边界曲线。在公式(1)中取,可得,上式左端为闭区域的面积的两倍,因此计算有界闭区域的面积的公式为:。例3:计算星形线所围图形的面积.【解】由公式(2)得===.例4:在过点O(0,0)和A(π,0)的曲线族中,求一条曲线C,使沿该曲线从O到A的线积分的值最小。【解】本题可用代入法直接求解,这里采用“补面法”用格林公是求解。令,即AO直线段。-。用一元函数极值的方法得时达到最小值。:设是平