文档介绍：一日一钱,千日一千;绳锯木断,水滴石穿(kyhouse.)
高等数学
第一章函数与极限
注:此部分带“*”题应看的仔细点
* W= lim n(n n 1)
n
分析:求此类数列极限是一定要转化成求函数极限的。那关键就是找出数列极限与函数极限
这种对应关系,我们知道 n n 当 n 时趋向 1 的(可以证明),而用函数极限求数列极
限,括号(n n 1) 必不能展开(展开就求不出结果了),因此,因为有“-1”结构在,可以
1 1
ln n 1
联想到“ ex 1”结构成“ a x 1”结构。实际上,n n 1( n )=e n 1~ ln n .
n
1 ln n ln x
解:根据上述分析,原式= lim n( ln n) = lim .构造函数 f(x)= lim .则 W=
n n n n x x
1
f (x) ln x x 2 x
lim 。所以 W= lim 洛必达法则 lim =  0 。因此原式=0.
x x 1 lim
x x x x
2 x
评: 本题是将数列极限转化成函数极限的比较简单但典型的题目。其中用到了
1 1
e x 1~ (x  0) 这样一个等价无穷小公式,其解题步骤是值得借鉴的。
x
M n
lim (M>0 为常数)
n n!
分析:如果是填空题,这种没有给定已知变量初值的题目,而且 n ,那么其结果肯
定是 0(肯定不是,计算题结果肯定存在)。本题的实质是任何一个给定的正数的幂次增
加速度追不上阶乘增加速度。为证明其为 0,则必须创建出有界量与无穷小的乘积或有界量
除以无穷大,此题有界量是难点。
M M M M
k,令 k  M,则1......,当 n>k 时,有
k 1 k 2 k 3 n1
M M M M M M M M M M M
. . ..... . ........ . 。因为. . ....... <1 ,因此
1 2 3 k 1 k 2 n1 n k1 k2 k3 n1
Mn M M M M M M n M M M M M
0. . ..... . 。因为 0 . . ..... 为有界量,而趋
n! 1 2 3 k n n! 1 2 3 k n
n
M n M
于 0,因此 0  0,由夹逼定理可知 lim =0.
n! n n!
1
一日一钱,千日一千;绳锯木断,水滴石穿(kyhouse.)
评:本题的要点是会用极限的不等式性质进行适当放大或缩小,有助于理解有界量与无穷
小之间的关系。
1
n
* f (x) 在[0,1]上连续,求 lim x f (x)dx .
n
0
分析:如果此题是填空题,则可放心写出答案 0(因为 f (x) 未知), f (x) 连续给了我们很
大的解题提示,连续函数在闭区间上有界。
1 1
n
解:(1)记 M 为 f (x) 在[0,1]上的最大值,则 lim x f (x)dx  lim M f (x)dx =
n n
0 0
n1
x 1 1
lim M | = lim M =0.
n n 1 0 n n 1
1 1
n n
(2)记 N 为 f (x) 在[0,1]上的最小值,则 lim x f (x)dx  lim N x dx =
n n
0 0
1
n
lim x f (x)dx =0.
n
0

x 2n1  ax2  bx
* f (x) = lim 2n 。( 1)若 f (x) 处处连续,求 a、b.(2)若(a,b) 不是求
n x 1
出的值,判断 f (x) 有何间断点。
分析:当 x=0 时, f (x) =0;当 x  0 时我们可以看到分子分母实际上差 1 次,为了看得更
1
 ax22n  bx12n
清楚些,我们可以尝试分子分母共同消去 x2n ,此时 f (x) = x .则当
lim 2n
n 1 x
0  ax2  bx
n 时可看到当 x 1时,原式 f (x) = lim = ax2  bx ;当 x  1 时,由上
n 1
1