文档介绍：江苏省 2012 年普通高校“专转本”统一考试模拟试(一)解析

一、单项选择题
x3  ax 2
1. 已知 lim  b 存在,则常数 ab, 的值分别为( )
x1 x 1
A. ab1,  4 B. ab1, 4 C. ab1,  4 D. ab1,  4
解:该题考察等价无穷小阶的比较,求极限等概念与方法。
1
因为 lim(x  1) 0这表明(x  1) 是 x 1时的一阶无穷小;
x1
3
x ax 2 3
lim  b 存在,可推出 lim(x ax  2)  0 ,同阶无穷小量或是高阶无穷小量的
x1 x 1 x1
商式极限才有可能存在,这是无穷小量阶的比较理论。
3
由 lim(x ax  2)  0 可得 1a  2  0 ,解得 a 1。
x1
0
x3 ax 2a1 x 3  x  20 3 x 2  1
lim lim  lim  4  b
x1xx1 x  1 1 x  1 1
故答案选择 B

xx2  2
2. 函数 fx()的可去间断点是( )
x( x 1)( x2 4)
x  0 x 1 x 2 x  2
A. B. C. D.

解:求函数间断点的方法首先需要考察函数的定义域,因为初等函数在定义域内都是连续函
数,只有定义域的分段点才有可能是间断点。
本题的间断点有可能为 x0, x  1, x  2, x  2 ,下面逐个考察
当 x  0 时,因函数表达式中含有绝对值,从而必须分左右极限加以讨论。
x2 2 x x ( x 2) 1
limfx ( ) lim  lim 
x0  x  0 x( x 1)( x2  4) x  0  x ( x  1)( x  2)( x  2) 2
x2 2 x x ( x 2) 1
limfx ( ) lim  lim 
x0  x  0 x( x  1)( x2  4) x  0  x ( x  1)( x  2)( x  2) 2
综上可知, x  0 是跳跃间断点;
下面继续判断 x1, x  2, x  2是否为间断点。
当被讨论的函数是分段函数,并且分段点左右两边的表达式互不相同时,判断分段点的连续
性或是间断点的类型才需分左右极限加以讨论。
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x 1是无穷间断点,这是因为
x2 2 x x ( x 2) 1
limfx ( ) lim  lim  lim ;
x1 x  1x( x 1)( x2  4) x  1 x ( x  1)( x  2)( x  2) x  1 ( x  1)( x  2)
x  2 是可去间断点,这是因为
x2 2 x x ( x 2) 1 1
limfx ( ) lim  lim  lim ;
x2 x  2x( x 1)( x2  4) x  2 x ( x  1)( x  2)( x  2) x  2 ( x  1)( x  2) 4
x 2是无穷间断点,这是因为
x2 2 x x ( x 2) 1
limfx ( ) lim  lim  lim ;
x2 x  2x( x 1)( x2  4) x  2 x ( x  1)( x  2)( x  2) x  2 ( x  1)( x  2)
从而该题选择 D
x  0 时,下列无穷小中与 x 不等价的是( )
2
2 ln(1 x ) 2 x 2
A. xx10 B. C. sin(2sinxx) D. ex21
x
解:判断等价无穷小或是无穷小的阶,结合本题,常用的方法是
()x
limc 0 ()x k
考察 x0 xk ,则说明无穷小量是阶无穷小。
()x
lim 1 ()x cxk
进一步 x0 cxk ,说明无穷小量与是等价无穷小。
()x
x lim 1
本题需要判断所给出的四个选项中的无穷小与是否为等价无穷小,只需判断 x0 x
何时成立。
xx10 2 ln(1x2 ) exx2 x2  1 e  4 x
lim 1 lim 1 lim lim 1
x0 x x0 x2 x