文档介绍：预习导引
,了解换元公式
的建立过程,
二重积分的变量代换
本节作业
,4.
定理设 D 是 xOy 平面上的一个有界闭区域.
概述Ω是 uOv 平面上的一个有界闭区域.
y ϕ v
在微积分课程中,计算重积分的方法是将重积分在⎧x = x(u,v)
: ⎨ D Ω
次积分,⎩y = y(u,v)
x u
后,能否求出原函数,用牛顿─莱布尼茨公式计算积是Ω到 D 的一一对应的连续可微映射,满足
分,
∂(x, y)
换,即选用适当的新坐标系,能够更加方便地将重积 det ≠ 0 ((u,v)∈Ω) .
分化为累次积分,或者使得累次积分能够运用牛顿─∂(u, y)
莱布尼茨公式计算出的结果. 又设 f (x, y) 在区域 D 连续. 则有
本节研究二重积分变量代换公式,即二重积分的换∂(x, y)
元积分法. ∫∫ f (x, y)dxdy = ∫∫ f [x(u,v), y(u,v)]⋅ det dudv .
D Ω∂(u,v)
证明梗概ΔD
ΔD y v ΔΩ
y v ΔΩϕ
ϕ
D Ω
D Ω
O x O u
O x O u
ϕ
在 uOv 平面中用平行于坐标轴的直线网分割Ω, ΔΩ
ΔD
映射ϕ将该直线网映到区域 D ,得到 D 的一个分割.
当Ω的小区域ΔΩ的最大直径趋向于零时, 考察一个小区域ΔΩ. ΔΩ的面积等于ΔuΔv .
D 的小区域ΔD 的最大直径也趋向于零. 假定ΔD = ϕ( ΔΩ) . 下面研究ΔD 的面积的求法.
1
ϕ P2
M 2 ϕ
ΔD ΔΩΔv
ΔD ΔΩ
M1 P P
0 Δu 1
由于小区域ΔD = ϕ(ΔΩ) 的面积不好计算,需要用一个 M 0
平行四边形的面积作为它的近似值. 这个平行四边形相邻的两个边分别为
⎧x = x(u,v) M M = (x′, y′)T Δu , M M = (x′, y′)T Δv .
ϕ: ⎨ 0 1 u u 0 1 v v
⎩y = y(u,v)
因此ΔD 的面积近似地等于
考察另一个映射ψ(u,v):
∂(x, y)
M M × M M =| det | ΔuΔv .
⎧x = x(u0 ,v0 ) + xu′⋅(u − u0 ) + xv′⋅(v − v0 ) 0 1 0 2 (u0 ,v0)
⎨∂(u,v)
⎩y = y(u0 ,v0 ) + yu′⋅(u − u0 ) + yv′⋅(v − v0 )
这就是小区域ΔD 面积的近似值.
映射ψ将ΔΩ映成一个平行四边形.
ΔD
y v ΔΩ所以
ϕ∂(x, y)
∑ f (M )⋅ΔD ≈ f (ϕ(P ))⋅| det | Δu Δv .
ij ij ∑ ij (ui ,v j ) i j
i, j i, j ∂(u,v)
D Ω