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文档介绍：二重积分的概念和性质
二重积分的概念
二重积分的概念
二重积分的性质
预习导引引例1 设 D ⊆ R2 是一个有界区域,
f (x, y) 是定义在 D 上的非负连续函数.
D 为底,以曲面 z
S
、积分区域的对 S : z = f (x, y) 为顶的曲顶柱体.
称性简化积分计算的方法求Ω的体积.
解将 D 分成若干小区域ΔΩi O y
本节作业
ΔDi (i = 1,2,L,n) . ΔD
D i
:1,4. Ω就被分成若干小曲顶柱体 x
ΔΩ(i = 1,2, ,n) . Pi
思考题:3,6,5(只思考不做) i L
在每一个ΔDi 中任取一点 Pi . 引例2 设 D 是地球表面一个有界区域,
ΔDi
将ΔΩi (i = 1,2,L,n) 近似地看成平顶柱体. 在 D 的下方埋藏有某种矿物.
假定这种矿物是连续分布的.
ΔΩi 的体积近似地等于 f (Pi )ΔDi (i = 1,2,L,n) . D
如何估算矿物总量?
整个曲顶柱体的体积近似地等于 z Pi
S 解将 D 分成若干小区域
∑ f (Pi )ΔDi .
i ΔDi (i = 1,2,L,n) .
当各个ΔDi 的最大直径趋向于零时,
在每一个ΔDi 中任取一点 Pi .
如果这个近似值趋向于ΔΩi O y
在点 P 进行钻探探明该处的矿物密度μ(P ) .
某个值 i i
I . ΔD
D i 小区域ΔD 地下矿物藏量近似地等于μ(P ) ⋅ΔD .
区域Ω的体积就等于 I . x i i i
Pi 全部矿藏量近似地等于∑μ(Pi )ΔDi .
i
1
二重积分定义
2
各个ΔDi 的最大直径越小, ΔDi 数量越多, 设 D ⊆ R 是一个有界区域,f (x, y) 是定义在 D 上的函数.
上述近似值就越精确. 将 D 分成若干小区域
ΔDi
当各个ΔDi 的最大直径趋向于零时, ΔDi (i = 1,2,L,n) .
如果这个近似值趋向于某个常数 I . 在每一个ΔDi 中任取一点 Pi .
Pi
总矿藏就等于 I . 构造和式: ∑ f (Pi )ΔDi .
i
D
各ΔDi 的最大直径趋向于零时,
如果这个和趋向于某个常数 I ,
则称 f (x, y) 在区域 D 上可积.
这个极限值称为函数 f (x,y) 在区域 D上的积分.
记作∫∫D f (x, y)dσ.
:
D (x, y) 为有界函数.
如果D 为无界区域,或者 f (x, y) 为无界函数,
就需要对于二重积分的概念及其推广.
二重积分的性质
:
f (x, y) 为连续函数.
但是连续性不是可积性的必要条件.
例如当函数 f (x, y) 在区域 D 中的 L
D
若干孤立点,或者一条线段上间断时,
f (x, y) 在区域