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文档介绍：定义1
多元函数的极值 n n
设 x0 ∈ R 为一定点,如果存在 M 0 的一个邻域 U ⊆ R ,
使得对于所有的 x ∈U ,都有 f (x) ≥ f (x0 ) . 则称
f (x0 ) 是 f (x) 的一个极小值.

x0 是 f (x) 的一个极小值点.
如果对于所有的 x ∈U ,都有 f (x) ≤ f (x ) .
0 则称
f (x0 ) 是 f (x) 的一个极大值.
x0 是 f (x) 的一个极大值点.
极小值(点)和极大值统称极值(点).
定理1(极值的必要条件)
注释2
设 f (x , x , , x ) 为n 元函数,M ∈ Rn 是 f 的极值点, z
1 2 L n 0 驻点不是极值的充分条件. x
若在点 M 可微,则必有
0 例如考察函数
∂f ∂f ∂f
= = = = 0 . 2 2
M0 M0 L M0 z = f (x, y) = x − y
∂x1 ∂x2 ∂xn
注释 O(0,0) 是驻点,但不是极值点.
若 f 在点 M 可微,并且各个偏导数都等于零, f (x,0) 在(0,0) 取极小值;
0 y z = x2 − y 2
则称 M 是 f 的一个驻点,或者临界点.
0 f (0, y) 在(0,0) 取极大值.
定理1说明:对于可微函数而言, f (0,0) 既不是极大值,也不是极小值.
极值点的必要条件是驻点.
O(0,0) 是 f (x, y) 的鞍点驻点.
注释3 定理1的证明:
多元函数可能有多个极值,也可能没有极值. 设 M = (x0 , x0 , , x0 ) . 0 0
0 1 2 L n 固定 x2 = x2 ,L, xn = xn ,
n 元函数 f (x1, x2 ,L, xn ) 就变成 x1 的一元函数:
0 0
z z f (x1 , x2 ,L, xn ) .
0
根据假定,这个一元函数在点 x1 = x1 处达到极值.
由一元函数极值的必要条件推出
0 0
df (x1, x2 ,L, xn )
0 = 0 .
y y x1=x1
dx1
∂f
这就是= 0 . 同样可以证明其他偏导数等于零.
x M0
x ∂x1
1
证明 f (x, y) 在点(x , y ) 的一阶泰勒公式为
定理2 (二元函数极值的充分条件) 0 0
∂∂
假设(x , y ) 是 f (x, y) 的驻点,f (x, y) 的二阶偏导数 f (x, y) − f (x , y ) = (h + k ) f (x , y )
0 0 0 0 ∂x ∂y 0 0
在点(x0 , y0 ) 的某个邻域中连续.
1 ∂∂ 2
∂2f ∂2f ∂2f + (h + k ) f (ξ,η)
记 A = ( x , y ) , B = , C = ( x , y ) . 2! ∂ x ∂ y
∂x2 0 0 ∂x∂y ( x0, y0) ∂y 2 0 0
由于(x0 , y0 ) 是 f (x, y) 的驻点,所以
则有下列结论:
f (x, y) − f (x , y ) =
若 2 0 0
1. A > 0, AC − B > 0 , 则 f (x0 , y0 ) 是极小值;
1 ∂ 2f (ξ,η) ∂2f (ξ,η)
2. 若 A < 0, AC − B2 > 0 , 则 f (x , y ) 是极大值; [ (x −x )2 + 2 (x −x )( y − y )
0 0 ∂x2 0 ∂x∂y 0 0
2 2
3. 若AC − B < 0 , 则 f (x0 , y0 ) 不是极值;
∂2f (ξ,η)
4. 若AC − B2 = 0 , 则不能确定 f (x , y ) 是否为极值. + ( y − y )2 ]
0 0 ∂y 2 0
利用矩阵记号,可以将上式重新写成则上式又变为
f (x, y) − f (x ,y ) =
f (x, y) − f (x0,y0) = 0 0
A(ξ,μ) B(ξ,μ) ⎛ x −x ⎞
⎡∂2f (ξ,μ) ∂2f (ξ,μ)⎤ 1 ⎡⎤ 0
(x −x0, y − y 0)⎢⎥⎜⎟
⎢ 2 ⎥ 2 ⎣B(ξ,μ) C(ξ,μ) ⎦⎝ y − y 0 ⎠
1 ∂x ∂x∂y ⎛ x −x0 ⎞
(x −x , y − y )⎢⎥⎜⎟ 2
0 0 2 2 ⎜⎟ 1. 若 A