文档介绍：第十六章二次根式
二次根式
一、二次根式的定义
一般地,我们把形如(≥0)的式子叫做二次根式。其中“”叫做二次根号。二次根号下的叫做被开方数
【注】正确理解二次根式的概念,要把握以下几点:
①二次根式是在形式上定义的,必须含有二次根号“”。如是二次根式,虽然=2,但2不是二次根式。
②二次根式的被开方数可以是一个数字,也可以是一个代数式,但必须满足被开方数大于等于0,即≥,所以它不是二次根式。
③“”的根指数为2,即“”,这里的2可以省略不写,写作“”,注意,不可误认为根指数是“1”或“0”。
④形如()的式子也是二次根式,它表示与的乘积,与单项式书写类似,当是假分数时,要写成带分数的形式。
【方法总结】:判断一个式子是不是二次根式,一定要紧扣定义,看所给的式子是不是同时具备二次根式的两个特征:(1)带二次根号“”;(2)被开方数大于等于0(非负数)。不满足其中任何一个条件,它就不是二次根式。
※※※二、二次根式有意义的条件
1、从总体上描述:在二次根式中,当≥0时,有意义;当时,无意义。
2、从具体的情况总结,如下: A≥0
(1)单个二次根式如有意义的条件是; B≥0
(2)多个二次根式相加如有意义的条件:…
N≥0
(3)二次根式作为分式的分母如有意义的条件是:;
(4)二次根式与分式的和如有意义的条件是: A≥0
B≠0
【方法总结】判断含完全平方的被开方数是否是非负数的一般方法:
(1)如果被开方数是一个完全平方数与一个非负数的和的形式,显然这个被开方数是非负数,因此它必然是二次根式,如式子;
(2)如果被开方数是一个完全平方数的相反数,那么只有当底数是0时,被开方数等于0,式子才是二次根式,如
,只有当时,这个式子才是二次根式;
(3)如果被开方数是一个完全平方数的相反数与一个负数的和的形式,显然这个被开方数是一个负数,如,这样的式子不是二次根式;
(4)对于被开方数是多项式的情况,需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成完全平方式的形式,并进行分析讨论,如需先化成
※※※三、二次根式的性质
1、性质1:式子()具有双重非负性:它既表示非负数,又表示非负数的算术平方根。具体描述为:(1)是一个非负数;(2)的最小值为0;(3)的被开方数是一个非负数。
注意:几个非负数的和为0时,这几个非负数必须同时为0.
2、性质2:,即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身。
注意:不要忽略这一限制条件,导致类似的错误。
3、性质3:= ,
即当一个数为非负数时,它的平方的算术平方根等于它本身,可记为;当一个数为负数时,它的平方的算术平方根等于它本身的相反数,可记为。
※※【重点剖析】:与的区别与联系
表达式
区
别
意义不同
表示实数的算术平方根
表示非负实数的算术平方根的平方
取值范围不同
为任意实数
运算结果不同
= ,
运算顺序不同
表示对实数先平方再作开平方运算
表示对非负数先开方再作平方运算
联系
与均为非负数,且当时,=
知识拓展:逆用公式,即可以把一个非负数写成一个数的平方的形式,从而把因式分解推广到实数范围内,例如
四、代数式
1、定义:用基本的运算符号(基本的运算符号包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子称为代数式。代数式可以简明的表示出数量和数量之间的关系,也能真实客观地展现出实际问题中的数量关系。
【重点剖析】:代数式是数与字母之间的运算关系,代数式中只能含有加、减、乘、除、乘方、开方运算符号,不能含有
“”“”“”“”“”或“=”等关系符号。
2、根据实际问题列代数式的一般步骤:
(1)要认真审题,对语言叙述中的关键词语(如“除”与“除以”、“平方差”与“差的平方”等)所代表的意义进行仔细辨析;
(2)要分清语言叙述中各数量之间的和、差、倍、分等关系;
(3)根据各数量之间的运算关系及运算顺序写出代数式。
3、列代数式常用的方法:
(1)直接法:根据问题的语言叙述直接写出代数式
(2)公式法:根据公式列出代数式
(3)探究规律法:将蕴含在一组数或一组图形中的排列规律用代数式表示出来
二次根式的乘除
一、二次根式的乘法
一般地,对二次根式的乘法法则是:·=(≥0,≥0),
语言叙述为:两个二次根式相乘,把被开方数相乘,根指数不变
【注意】:乘法法则中被开方数、都必须是非负数
【重点剖析】(1)二次根式相乘的结果是一个二次根式或者是一个有理式
(2)如果没有特别说明,本章中所有的字母都表示正数
【知识拓展】二次根式乘法法则的推广
(1)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算,如;
(2)当二次根式根号