文档介绍：二、建构知识网络
一、两个函数的图象对称性
与关于轴对称。
换种说法:与若满足,即它们关于对称。
与关于Y轴对称。
换种说法:与若满足,即它们关于对称。
与关于直线对称。
换种说法:与若满足,即它们关于对称。
与关于直线对称。
换种说法:与若满足,即它们关于对称。
关于点对称。
换种说法:与若满足,即它们关于点对称。
与关于直线对称。
二、单个函数的对称性
性质1:函数满足时,函数的图象关于直线对称。
证明:在函数上任取一点,则,点关于直线
的对称点,当时
故点也在函数图象上。
由于点是图象上任意一点,因此,函数的图象关于直线对称。
(注:特别地,a=b=0时,该函数为偶函数。)
性质2:函数满足时,函数的图象关于点(,)对称。
证明:在函数上任取一点,则,点关于点
(,)的对称点(,c-y1),当时,
即点(,c-y1)在函数的图象上。
由于点为函数图象上的任意一点可知
函数的图象关于点(,)对称。(注:当a=b=c=0时,函数为奇函数。)
性质3:函数的图象与的图象关于直线对称。
证明:在函数上任取一点,则,点关于直线对称点(,y1)。
由于
故点(,y1)在函数上。
由点是函数图象上任一点
因此与关于直线对称。
三、周期性
1、一般地,对于函数,如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有,那么函数就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期。说明:周期函数定义域必是无界的。
推广:若,则是周期函数,是它的一个周期
,则也是周期,所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
说明:周期函数并非都有最小正周期。如常函数;
3、对于非零常数,若函数满足,则函数必有一个周期为。
证明:
∴函数的一个周期为。
4、对于非零常数,函数满足,则函数的一个周期为。
证明:。
5、对于非零常数,函数满足,则函数的一个周期为。
证明:。
6、对于非零常数,函数满足或则函数的一个周期为。
证明:先看第一个关系式

第二个式子与第一的证明方法相同
7、已知函数的定义域为,且对任意正整数
都有则函数的一个周期为
证明: (1)
(2)
两式相加得:

四、对称性和周期性之间的联系
性质1:函数满足,,求证:函数是周期函数。
证明:∵得
得
∴
∴
∴函数是周期函数,且是一个周期。
性质2:函数满足和时,函数是周期函数。(函数图象有两个对称中心(a,)、(b,)时,函数是周期函数,且对称中心距离的两倍,是函数的一个周期)
证明:由

得
得
∴函数是以为周期的函数。
性质3:函数有一个对称中心(a,c)和一个对称轴(a≠b)时,该函数也是周期函数,且一个周期是。
证明:

推论:若定义在上的函数的图象关于直线和点对称,则是周期函数,是它的一个周期
证明:由已知
举例:等.
性质4:若函数对定义域内的任意满足:,则为函数的周期。(若满足则的图象以为图象的对称轴,应注意二者的区别)
证明:

性质5:已知函数对任意实数,都有,则是以为周期的函数
证明:
五、典型例题
例1 (2005·福建理)是定义在上的以3为周期的奇函数,且