【包哥数学】高数学--抽象函数专题.docx

文档介绍：【包哥数学】抽象函数专题抽象函数简介抽象函数是指没有给出具体的函数解析式,只给出它的一些特征、性质或一些特殊关系式的函数,所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力。抽象函数一些模型根据抽象函数的一些性质,联想到所学的基本初等函数模型,将抽象具体化,有助于分析问题。抽象函数f(x)具有的性质联想到的函数模型f(x1+x2)=f(x1)+f(x2);f(x1-x2)=f(x1)-f(x2)正比例函数模型:f(x)=kx(k≠0)f(x1+x2)=f(x1)·f(x2);f(x1-x2)=f(x1)÷f(x2)指数函数模型:f(x)=ax(a>0且a≠1)f(x1·x2)=f(x1)+f(x2);f(x1÷x2)=f(x1)-f(x2);(x1,x2∈R+)对数函数模型:f(x)=logax(a>0且a≠1)例题:例1:f(x)在R+上是增函数,且f(x)=f()+f(y),若f(3)=1,f(x)-f()≥2,求x的范围。例2:设函数f(x)的定义域为R,对于任意实数m、n,总有f(m+n)=f(m)·f(n),且x>0时,0<f(x)<1.(1)证明:f(0)=1;且x<0时,f(x)>1;(2)证明:f(x)在R上单调递减;(3)设A={(x,y)│f(x2)·f(y2)>f(1),B={(x,y)│f(ax-y+2)=1,a∈R},若A∩B=∅,确定a的范围。抽象函数的对称性(中心对称、轴对称)和周期性①先深刻理解奇函数,偶函数概念②方法:用哪个数代替x一、=f(x)定义域为R,且满足条件:f(a+x)=f(b-x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=对称。=f(x)定义域为R,且满足条件:f(a+x)=f(a-x)(或f(2a-x)=f(x)),则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称。=f(x)定义域为R,且满足条件:f(a+x)=f(a-x),又若方程f(x)=0有n个根,则此n个根的和为na。=f(x)定义域为R,且满足条件:f(a+x)+f(b-x)=c,(a,b,c为常数),则函数y=f(x)的图象关于点对称。=f(x)定义域为R,且满足条件:f(a+x)+f(a-x)=0,(a为常数),则函数y=f(x)的图象关于点(a,0)对称。=f(x)定义域为R,则函数y=f(a+x)与y=f(b-x)两函数的图象关于直线x=对称。对任意x0,令a+x0=b-x1,则x0+x1=b-a此时令y=f(a+x0)=f(b-x1),则(x0,y)在第一个函数图像上,(x1,y)在第二个函数图像上因为x0+x1=b-a,所以有x0-(b-a)/2=(b-a)/2-x1,(x0,y)和(x1,y)关于直线x=(b-a)/2对称所以这两个函数的图像关于直线x=(b-a)/=f(x)定义域为R,则函数y=f(a+x)与y=c-f(b-x)两函数的图象关于点对称。二、抽象函数的周期性命题1:若a是非零常数,对于函数y=f(x)定义域的一切x,满足下列条件之一,则函数y=f(x)=f(x)满足f(x+a)=-f(x),则f(x)是周期函数,且2a是它的一个周